Уравнение катета и медианы прямоугольного треугольника.

Прежде всего, выясним нет ли противоречия в условии, по которому нам дано уравнение прямой AC и координаты точки A. Если координаты точки удовлетворяют уравнению, то противоречия нет, но это нужно проверить. Проверяем, подставляем в уравнение x-2у-4=0 координаты точки: x = 6; y = 1. Получаем 6 - 2 - 4 = 0 - верно. Значит всё хорошо.
Теперь составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1; y1) и (x2; y2) по такой формуле:
(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)
В данном случае это точки A и B, в которых x1 = 6; x2 = 2; y1 = 1; y2 = 9.
Подставляем, делаем упрощения и вычисления. Получаем что-то вроде этого:
(x - 6) / (2 - 6) = (y - 1) / (9 - 1);
(x - 6) / (-4) = (y - 1) / 8;
Умножаем на 8:
-2x + 12 = y - 1
2x + y - 13 = 0
Это и есть уравнение прямой AB
Сравним его с заданным уравнением AC: x-2у-4=0,
Приведём каждое уравнение к виду y = kx + b и найдём k - угловой коэффициент:
AC: 2y = x - 4; y = 0,5x - 2
AB: y = -2x + 13
В первом случае коэффициент при x равен 0,5, а во втором он равен -2. Их произведение равно -1. Значит, прямые перпендикулярны.
Значит, AB - это второй катет, и точка A - вершина прямого угла. Тогда BC - это гипотенуза.
Осталось составить уравнение медианы. Это есть уравнение прямой AD, где D - середина отрезка BC. Координаты точки C из условия задачи найти однозначно нельзя. Поэтому поступим так. Пусть абсцисса точки С равна t, где t - некий параметр, который может принимать любое действительное значение, не равное 6 (иначе точка C совпадёт с точкой A, и вместо треугольника ABC получится отрезок). Поскольку точка C лежит на прямой AC, уравнение которой дано, подставляем t вместо x в уравнение и находим y:
y = 0,5t - 2.
Итак, точка C имеет координаты (t; 0,5t - 2); t ≠ 6.
Вычисляем теперь координаты середины D отрезка BC по такой формуле: x0 = (x1 + x2)/2; y0 = (y1 + y2)/2. В данном случае x1 = 2; x2 = t; y1 = 9; y2 = 0,5t - 2.
Тогда x0 = (2 + t)/2 = 0,5t + 1;
y0 = (9 + 0,5t - 2)/2 = 0,25t + 3,5
Итак, точка D имеет координаты (0,5t + 1; 0,25t + 3,5)
Теперь составим уравнение медианы AD по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки. В данном случае x1 = 6; x2 = 0,5t + 1; y1 = 1; y2 = 0,25t + 3,5)
Тогда уравнение имеет вид:
(x - 6) / (0,5t + 1- 6) = (y - 1) / (0,25t + 3,5 - 1)
(x - 6) / (0,5t - 5) = (y - 1) / (0,25t + 2,5)
Умножим числитель и знаменатель левой части на 2, а правой - на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов при t:
(2x - 12) / (t - 10) = (4y - 4) / (t + 10)
Перемножим крест-накрест крайние и средние члены пропорции; раскроем скобки:
(2x - 12)(t + 10) = (4y - 4)(t - 10)
2x(t + 10) - 12t - 120 = 4y(t - 10) - 4t + 40
2(t + 10)x - 4(t - 10)y - 8t - 160 = 0
(t + 10)x - 2(t - 10)y - 4t - 80 = 0
Это и есть уравнение искомой медианы.
В зависимости от того, где на прямой AC расположена точка C, можно получать разные уравнения медианы, подставив вместо t абсциссу точки C.
Придадим t несколько разных значений. Например, t1 = 14; t2 = -6; t3 = 22; t4 = 2.
Найдём соответствующие точки C: С1 (14; 5); C2 (-6; -5); C3 (22; 9); C4 (2; -1)
Соответствующие координаты точки D: D1 (8; 7); D2 (-2; 2); D3 (12; 9); D4 (2; 4)
Соответствующие уравнения медиан:
m1: 24x - 8y - 136 - 0; 3x - y - 17 = 0;
m2: 4x + 32y - 56 = 0; x + 8y + 7 = 0;
m3: 32x - 24y - 168 = 0; 4x - 3y - 21 = 0;
m4: 12x + 16y - 88 = 0; 3x + 4y - 22 = 0.
И так далее (см. рис.)
Ответ: катет 2x + y - 13 = 0; медиана: (t + 10)x - 2(t - 10)y - 4t - 80 = 0; t ≠ 6.

Моё мнение: задача не решается. Решение приведённое неделю назад Вами верное.

ась? )) сама... )))