В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке M. Через точку M проведена прямая

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2/1 (считая от вершины).
ΔDAM ~ ΔBAK по первому признаку подобия тр-ов: ∠BAH — общий, DA/BA = EA/CA — по теореме о пропорциональных отрезках.
У подобных фигур подобны и все элементы. Т.к. МA часть с медианы AK, значит и МA — медиана.
Коэффициент пропорциональности k = МA/KA = 2/3.
DE/BC = 2/3
6/BC= 2/3
ВC = 6*3/2 = 9

Так как точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC, то она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, AM = 2MB, BM = 2MC и CM = 2MA.

Поскольку DE || BC, согласно теореме Талеса, отрезок BD делит сторону AC пропорционально отрезкам AB и AE:

AB/BD = AM/MD = 2

AE/ED = AM/ME = 2

Таким же образом можно записать пропорцию на другой стороне треугольника:

BC/CE = BM/ME = 2
AB/BD = BC/CM = 2

Соединим все пропорции:

AB/BD = BC/CM = 2
BC/CE = BM/ME = 2

Тогда

AB/BD = BC/2MA = 2
BC/CE = 2MC/ME = 2

Домножим обе части первой пропорции на CE, а второй на BD, тогда:

AB * CE / BD = BC / 2MA * CE = 2 * CE
BC * BD / CE = 2MC / ME * BD = 2 * BD

Так как мы знаем, что AB * CE / BD = 6 (по условию) и BC * BD / CE = 4BC/3 (так как CE = 3MC, а MC = (1/3)MA):

6 = 4BC/3

BC = 4.5

Ответ: BC = 4.5.

Забей в инете. 100 пудов такая задача найдётся