Как доказать, что перпендикуляр, опущенный из середины ребра правильной пирамиды к еë основанию равен половине ее высоты

перпендикуляр, опущенный из середины ребра правильной пирамиды к еë основанию равен половине ее высоты
S - вершина пирамиды
SO - высота пирамиды
AS - ребро =>
ASO - прямоугольный треугольник
К - середина ребра
KH _|_ AO
Треугольники ASO и AKH подобны по трём углам и так как
AK = KS = x или
AS = 2*AK = 2x
KS = x
=>
AK / AS = x / 2x = 1/2 - коэф-т подобия =>
KH / SO = k = 1/2 =>
KH = SO / 2
перпендикуляр (KH), опущенный из середины K ребра (AS) правильной пирамиды к еë основанию (AO) равен половине ее высоты
(SO/2)
ч.и.т.д.

Рассмотрим правильную пирамиду с основанием в виде правильного многоугольника, например, пятиугольника (правильной пирамидой называется та, у которой все боковые ребра и боковые грани равны).

Обозначим вершину пирамиды буквой А, а середину ребра основания буквой М. Высоту пирамиды обозначим буквой H.

Так как многоугольник является правильным, то перпендикуляр, опущенный из точки М на основание, будет проходить через его центр. Пусть он пересекается с основанием в точке C.

Рассмотрим треугольник AMC. Согласно определению, точка М находится на середине ребра AC, а AM - это высота, опущенная из вершины пирамиды. Значит, треугольник AMC - это прямоугольный треугольник, у которого AC является гипотенузой.

С другой стороны, AM равна высоте пирамиды. Значит, прямоугольный треугольник AMC подобен треугольнику ABC (согласно теореме о высоте), у которого AB является диаметром описанной окружности.

Таким образом, AM является половиной высоты пирамиды, а MC является половиной стороны основания, то есть радиусом описанной окружности. Согласно теореме о радиусе описанной окружности правильного многоугольника, радиус R равен:

R = AB / 2sin(360 / n),

где n - количество сторон многоугольника.

Таким образом, MC = AB / 2 = 2Rsin(360 / n), а AM = H / 2.

Из равенства прямоугольных треугольников AMC и ABC следует, что:

AC^2 = AM^2 + MC^2,

то есть:

AB^2 = 4H^2 + 16R^2sin^2(360 / n).

Вспомним, что R = AB / 2sin(360 / n). Подставим это выражение в формулу для AC^2:

AC^2 = AB^2 - BC^2 = AB^2 - AB^2 / 4 = 3AB^2 / 4.

Сравнивая формулы для AC^2, полученные двумя разными способами, получаем:

3AB^2 / 4 = 4H^2 + 16R^2sin^2(360 / n),

AB^2 = 16H^2 / 3 + 16R^2sin^2(360 / n).

Теперь возьмем квадрат от обеих частей выражения для MC:

MC^2 = 4R^2sin^2(360 / n),

и заметим, что:

AB^2 = 4MC^2 + 16R^2sin^2(360 / n).

Подставляем значение AB^2 из предыдущего шага и получаем:

16H^2 / 3 + 16R^2sin^2(360 / n) = 4MC^2 + 16R^2sin^2(360 / n),

MC^2 = 4H^2 / 3 - 4R^2sin^2(360 / n) = (1 / 3) H^2.

Таким образом, MC = (1 / 2) H.

Итак, мы доказали, что перпендикуляр, опущенный из середины ребра правильной пирамиды к её основанию, равен половине ее высоты.

Силой. Долбани училку по лбу и скажи ей, что ты прав.