Связь радиусов окружностей

Очевидно, r/R = cos(pi/n)
Интереснее, при каких n данное число выразимо в радикалах (и в каких именно радикалах).
1. Загугли тероему Гаусса-Ванцеля
Для правильных многоугольникив, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, сие число выразимо в квадратичных действительных радикалах.
Для прочих правильных многоугольникив оно выразимо в комплексных радикалах, но не в действительных.
Проще говоря, значение выражения cos(пи/7) хрен упростишь.

Радиус вписанной окружности стремится к радиусу описанной окружности. А если тебя интересует отношение радиусов окружностей в зависимости от числа сторон многоугольника, то это тоже элементарно выводится:
Пусть радиус описанной окружности равен R, число сторон правильного многоугольника равно n>=3, тогда радиус вписанной окружности равен r=R*cos(пи/n). И отношение радиусов вписанной и описанной окружности равно просто cos(пи/n). пи/n со стремлением n к бесконечности стремится к нулю, а значение косинуса этого угла, соответственно, стремится к единице... То есть, отношение радиусов тоже стремится к единице, а это означает, что радиусы стремятся стать равными, что, впрочем, совершенно очевидно, потому что правильный многоугольник при стремлении числа его сторон к бесконечности стремится стать окружностью)))

ты хочешь закономерность что ли найти?Cомневаюсь,что найдешь...

Это непременно бы преподавали в средней школе, если бы было не так сложно.

r = a / sin (180/n)
R = a / tg (180/n)
=>
R / r = [a/tg (180/n)] / [a/sin (180/n)] =
= sin (180/n) / tg (180/n) =
= sin (180/n) * cos (180/n)/sin (180/n) =
= cos (180/n)
R/r = cos (180/pi)
Остальное объяснил "Дивергент"

сложно.....