Найти радиус окружности.

Ответ: r = 3.
Подсказка. Прежде всего, MN II AC. Пусть пока МK = a и KN = b. Из подобия треугольников АВС и ВMN сразу следует, что АС = 5(a + b)/3. Высота трапеции AMNC равна 2r. Опустим из т. К перпендикуляр на АС. Он пересечет АС в точке касания вписанной окружности Р. Положим АР = u и PC = v. Тогда u + v = AC. Кроме того, по теореме Пифагора: (u + a)^2 = (u - a)^2 + 4r^2, (v + b)^2 = (v - b)^2 + 4r^2 => au = r^2 и bv = r^2 => ab(u + v) = (a + b)r^2 => 5ab(a + b)/3 = (a + b)r^2 => r^2 = 5ab/3 = 9.

Дано, что прямая MN касается окружности в точке K.
Из этого следует, что отрезки KM и KN являются радиусами окружности, вписанной в треугольник ABC.

Известно, что MK = 9/5 и KN = 3.

Так как AM/MB = 2/3, то можно сказать, что AM = (2/3)*MB.
Аналогично, NC = (2/3)*NB.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Он является подобным треугольнику ABC, так как угол MAN является сопряженным углом к углу MBC (поскольку прямая MN касается окружности).

В подобных треугольниках отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин соответствующих друг другу сторон.
То есть, соотношение длин сторон треугольников AMN и ABC равно AM/MB = NC/NB = 2/3.

Используя это соотношение, мы можем записать:

AM/MB = NC/NB = 2/3
AM = (2/3)*MB
NC = (2/3)*NB

Теперь заметим, что AM + MN + NC = AB, где AB - это длина стороны треугольника ABC.
Подставим значения AM и NC:

(2/3)*MB + MN + (2/3)*NB = AB
(2/3)(MB + NB) + MN = AB
(2/3)(MB + NB) = AB - MN
(2/3)(MB + NB) = AB - (MK + KN)

Теперь заметим, что MB + NB = AB. Так как MN касается окружности и является касательной извне, то длина отрезка MN равна разности длин отрезков MK и KN.

MB + NB = AB
AB - (MK + KN) = AB - (9/5 + 3)
AB - (MK + KN) = AB - (9/5 + 15/5)
AB - (MK + KN) = AB - 24/5

Тогда уравнение принимает вид:

(2/3)AB = AB - 24/5

Теперь найдем AB:

AB/3 - 2AB/3 = -24/5
-AB/3 = -24/5
AB = (3*24)/5
AB = 72/5

Теперь найдем радиус окружности, которая вписана в треугольник ABC.
По формуле радиуса окружности, вписанной в треугольник, радиус можно найти по следующей формуле:

r = sqrt(((s-a)*(s-b)*(s-c))/s)

Где a, b, c - это длины сторон треугольника ABC, а s - полупериметр треугольника (s = (a + b + c)/2).

В нашем случае:

a = AB = 72/5
b = BC (неизвестно)
c = AC (неизвестно)

Так как AM/MB = NC/NB = 2/3, то можно сказать, что AM = (2/3)*MB и NC = (2/3)*NB.
Тогда AB = AM + MB = (2/3)*MB +

напиши в сентябре мб тогда вспомню как это решать

Ээээ,наверное 10см