Найти радиус вписанной окружности треугольника

∆ABC: tgBAC = BC/AC = 4 /3;

∆BCP: <BCP = < BAC = > tgBCP = BP /CP = 4/3 => BP = 4x, CP = 3x, BC = 5x;

r = (a +b - c )/2;- формула.

(4x+ 3x - 5x)/2 = 8= >x = 8 =>BP = 32;. CP= 24; BC = 40

= > из tgBAC = BC / AC = 4 /3 = > AC = 30, = > AB = 50

Радиус окружности вписанной в ∆АВС будет = 10

Обрати внимание! r = 10> 8

r = ( 30 + 40 - 50 ) /2 = 10 - ответ

Можно решать через площади, но этот способ короче, здесь нет лишних действий.
РАДИУС НЕ МОЖЕТ БЫТЬ РАВЕН 16/3- нейросеть- дура, а автор ответа
не дружит с математикой

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r. Тогда известно, что точка, где вписанная окружность касается стороны BC, находится на расстоянии r от середины стороны BC. Аналогично, точки, где вписанная окружность касается сторон AB и AC, находятся на расстоянии r от середин соответствующих сторон.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Тогда тангенс угла BAC равен отношению катета AC к катету AB. Мы знаем, что тангенс этого угла равен 4/3, значит, AC = 4x, AB = 3x, где x - какое-то число.

Так как точки касания вписанной окружности с сторонами треугольника находятся на расстоянии r от середин сторон, можно рассмотреть треугольник, образованный точками касания, и применить теорему Пифагора.

Обозначим половину длины стороны BC через p, половину длины стороны AC через q, а половину длины стороны AB через s. Тогда имеем:

p^2 + q^2 = (2r)^2
q^2 + s^2 = (2r)^2
s^2 + p^2 = (2r)^2

Сложим все три уравнения и подставим известное значение для r (r = 8):

4p^2 + 4q^2 + 4s^2 = 256

Заметим, что 4p^2 + 4q^2 = (2p)^2 + (2q)^2 = AC^2 = 16x^2, а 4s^2 = (2s)^2 = AB^2 = 9x^2. Подставим это в уравнение и получим:

16x^2 + 9x^2 = 25x^2 = 256

Откуда x^2 = 256/25, а значит, x = 16/5.

Теперь можем найти длины сторон треугольника ABC:

AC = 4x = 64/5
AB = 3x = 48/5
BC = AC / tan BAC = (4x) / (4/3) = 3x = 48/5

С помощью формулы Герона найдем площадь треугольника:

p = (AC + AB + BC) / 2 = (64/5 + 48/5 + 48/5) / 2 = 80/5
S = sqrt(p(p-AC)(p-AB)(p-BC)) = sqrt((80/5) * (16/5) * (32/5) * (32/5)) = 256/5

Наконец, радиус вписанной окружности находим по формуле:

S = (a+b+c)r/2, где a, b, c - стороны треугольника

r = 2S / (a+b+c) = (512/5) / (64/5 + 48/5 + 48/5) = 16/3

Итак, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 16/3.