Доказательство в окружности

Рисовать лень. Сейчас буду словами описывать :).

Лемма. Для любой хорды линия, соединяющая середину этой хорды и центр окружности, будет перпендикулярна хорде. То есть серединный перпендикуляр к любой хорде пройдёт через центр окружности.
Докажем сей факт. Проведём хорду. Из центра к концам хорды проведём радиусы. Они равны как радиусы одной окружности - значит, получился равнобедренный треугольник. В нём медиана (линия из центра окружности к середине хорды) также является высотой (ну или если угодно - высота, то есть линия из центра окружности, перпендикулярная хорде, также является медианой). Значит, то, что проходит через середину хорды из центра, перпендикулярно ей. То есть серединный перпендикуляр к любой хорде обязательно пройдёт через центр - что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим 2 несовпадающие хорды. Серединные перпендикуляры обеих проходят через центр окружности - значит, эти серединные перпендикуляры либо полностью совпадают, либо пересекаются в центре.

Полностью совпадать они так-то могут. Проведём некоторый диаметр и обзовём его серединным перпендикуляром. Находим на нём любую точку, отличную от середины, и проводим через неё перпендикуляр до пересечения с окружностью - получаем хорду, для которой наш диаметр в самом деле является серединным перпендикуляром. Таких хорд, понятное дело, бесконечно много. Все параллельны.

А вот если исходные хорды не параллельны, то и серединные перпендикуляры их не могут совпадать. Тогда они пересекаются в единственной точке, и это центр окружности.

Верь на слово или не верь.