Решить задачу по геометрии:

1. AD = DC, т. к. тр-к ABD = тр-к DBC; DC = x, то AC = 2x
2. OD = r = 2S/(AB+BC+AC) = 2S/(2AB+2x)=S/(AB+x); S=r(AB+x)
3. S = BD*AC/2 = BD*2x/2=BD*x=(BO+r)x
4. (BO+r)x=r(AB+x); BO*x + rx = AB*r + rx; BO*x = AB*r
5. BO=10, AB=20; 10x=20r; x = 2r
6. т. H - точка касания окр. BC. Т. к. тр-к СOH=COD, то CH = DC = x.
7. OH^2 = BO^2 - BH^2 = 100 - (20-x)^2 = r^2; (x/2)^2 = 100 - (20-x)^2; x^2 - 32x + 240 = 0; D = 64; x1 = 20, x2 = 12, так как x < AB=20, то x = AD = 12

Может длинное решение, но....
ОD = x . AD = y

BD = (10 + x)

S = AD * BD

S = OD * (20 + AD) --- S = r * p ( p --полупериметр)

y * (10+x) = x * (20 + y)
10y + xy = 20x + xy
y = 2x

итак, AD = 2x, OD = x

проведи радиус ОН к стороне АВ, AH = AD = 2x (касателые из одной точки равны)

В треугольнике ОВН по теореме Пифагора

ОB^2 = HB^2 + OH^2 ( OH = OD = x, HB = 20 - АH = 20 - 2x )

10^2 = (20 - 2x)^2 + x^2
x = 6,
2x = 12

1) ΔАВС - равнобедренный, а BD - высота, медиана и биссектрисса.
Центр окружности, вписанной вписанной в треугольник, - это точка пересечения медиан.
Кроме того центр окружности О делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Значит, OD - 1 часть
BO - 2 части
Так как ВО = 10 см, тогда
10 см : 2 = 5 см - это OD.
2) OD + ВO = АD
10см + 5см = 15см
3) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВD можно найти АD.