Геометрия 8 класс задача на подобие

Если в задании всё правильно написано, то треугольники не подобны. Тогда нам известно только равенство углов, по одному углу от каждого треугольника.
Тогда ничего не остаётся, как сконструировать треугольник LNK, подобный ABC, проведя отрезок из точки K на сторону L (на рисунке - синим). Он целиком окажется внутри треугольника MNK ввиду отношения площадей:

 S(LNK) : S(ABC) = 7² : 6² = 49 : 36 

(как квадрат отношения сторон).
Эта пропорция значительно меньше, чем

 S(MNK) : S(ABC) = 7 : 3 = 84 : 36 

Тогда

 LN : AB = NK : BC = 7 : 6

LN = 7 / 6 · 5 см = 35 / 6 см 

И остаётся найти недостающую сторону ML или целиком MN.

Попробуем понять что-нибудь из отношения площадей:

 S(MLK) : S(ABC) = S(MNK) : S(ABC) - S(LNK) : S(ABC) = 84 : 36 - 49 : 36 = 35 : 36

S(MLK) : S(LNK) = 35 : 49 = 5 : 7

S(MNK) : S(LNK) = 84 : 49 = 12 : 7

S(MNK) : S(MLK) = 12 : 5 

Как известно, площадь треугольника - это половина произведения стороны и проведённой к ней высоты:

 S = a · h / 2 

Проведём высоту KH, которая будет общей для всех трёх рассматриваемых треугольников MNK, MLK, LNK (на рисунке - красным).

Запишем площади через произведение основания и высоты:

 S(LNK) = KH · LN / 2

S(MLK) = KH · ML / 2

S(MNK) = KH · MN / 2 

Поскольку KH - постоянный множитель, пропорции сторон LN, ML, MN равны пропорциям площадей соответствующих треугольников. Иными словами,

 MN : LN = S(MNK) : S(LNK) = 12 : 7

MN = LN · 12 / 7 = 35 / 6 · 12 / 7 = 35/7 · 12/6 = 5 · 2 = 10 (см) 

Ответ:

 MN = 10 см 

----------------------------------------------------------------------
Другой вариант, если треугольники подобны, тогда NK не может быть 7 см при равных углах B = N.

Тогда остаётся только спекулировать, где ошибка. Может быть, MK = 7 см, а не NK? Тогда стороны большего треугольника относятся к сторонам меньшего как √7/√3.

Тогда

 MN = 5√7/√3 см 

как и изображено на рисунке (отношение площадей равно квадрату отношения сторон).

Но учитывая, что первый вариант нормально решился, думаю, что брать надо именно его.

Это ты из разных задач условие списал?

Если ВС = 6 см и NK = 7 см, а Угол ABC = углу MNK , то отношение площадей никак не может быть 3:7