Геометрия, 7 класс , Виды треугольников. Основные факты

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

Ответ:

OL=ON

Объяснение:

∠OKN = ∠OML = 90° =>ΔOKN и ΔOML прямоугольные

∠О общий

ОК=ОМ

Следовательно

ΔOKN=ΔOML, по второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу)

Следовательно

OL=ON

ЗАДАНИЕ 3
Ответ:

∠CFA = 108°.

Объяснение:

Дано: АВ = AС, СF = BC, ∠ACF = ∠BCF.

Найти ∠CFA.

Решение.

∠АВС = ∠АСВ, так как треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС.

∠FВС = ∠BFC, так как треугольник BCF равнобедренный с основанием ВF (CF = BC - дано).

Пусть ∠АВС = х. Тогда в треугольнике ВСF сумма внутренних углов равна х + х + 0,5·х = 180°. Отсюда

х = 72° => ∠BFC = 72° => ∠CFA = 180° - 72° = 108° как углы смежные

Задание 1.

По условию дано, что треугольники CBD и EDB являются прямоугольными, а катеты CB и DE равны. Тогда по теореме Пифагора:

CD^2 = CB^2 + BD^2 (1)
BE^2 = DE^2 + BD^2 (2)

Поскольку CB = DE, то уравнения (1) и (2) примут вид:

CD^2 = BE^2 + BD^2 (3)
BE^2 = CD^2 + BD^2 (4)

Сложим уравнения (3) и (4) и приведем подобные слагаемые:

CD^2 + BE^2 = 2BD^2

Так как BD = CD - BE, то:

CD^2 + BE^2 = 2(CD - BE)^2

Раскроем скобки:

CD^2 + BE^2 = 2(CD^2 - 2CDBE + BE^2)

Сократим BE^2 с обеих сторон и приведем подобные слагаемые:

CD^2 = 2CDBE

Делим обе части уравнения на 2:

CD^2/2 = CDBE

Таким образом, получаем:

CD = BE

что и требовалось доказать.

Ответ: CD = BE.

Задание 2.

Рассмотрим треугольники OML и OKN. По условию, углы ∠OML и ∠OKN являются прямыми, а отрезки OK и OM равны. Тогда по теореме Пифагора:

OL^2 = OM^2 + ML^2 (1)
ON^2 = OK^2 + KN^2 (2)

Поскольку OK = OM, то уравнения (1) и (2) примут вид:

OL^2 = OM^2 + ML^2 (3)
ON^2 = OM^2 + KN^2 (4)

Сложим уравнения (3) и (4) и приведем подобные слагаемые:

OL^2 + ON^2 = 2OM^2 + ML^2 + KN^2

Так как углы ∠OKN и ∠OML являются прямыми, то точки K, O и L лежат на одной прямой. Обозначим отрезок KL через x. Тогда ML = OL - x и KN = ON - x. Подставляем в предыдущее уравнение:

OL^2 + ON^2 = 2OM^2 + (OL - x)^2 + (ON - x)^2

Раскроем скобки:

OL^2 + ON^2 = 2OM^2 + OL^2 + ON^2 - 2x(OL + ON) + 2x^2

Доказательство:

Пусть AB = AC, тогда ∠ABC = ∠ACB, так как треугольник ABC равнобедренный. По свойству углов при основании имеем ∠BAC = (180° - ∠ABC - ∠ACB)/2 = (180° - 2∠ABC)/2 = 90° - ∠ABC.

Пусть BD - биссектриса ∠ABC, тогда ∠ABD = ∠CBD и ∠ACD = ∠BCD. Также, ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 2∠ABC, и ∠ADB + ∠ADC = ∠BAC = 2∠ABC.

Заметим, что в треугольнике ABD, ∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180°, или, эквивалентно, ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - ∠CBD - (1/2)∠BAC = 180° - ∠CBD - (1/2)(2∠ABC) = 180° - ∠CBD - ∠ABC.

В треугольнике ACD, ∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180°, или, эквивалентно, ∠CAD = 180° - ∠ACD - ∠ADC = 180° - ∠BCD - (1/2)∠BAC = 180° - ∠BCD - (1/2)(2∠ABC) = 180° - ∠BCD - ∠ABC.

Таким образом, ∠BAD + ∠CAD = 360° - (∠BCD + ∠CBD) = 360° - 2∠ABC. Но ∠BAD + ∠CAD = 180° - ∠BAC = 90° - (1/2)∠ABC. Значит, 90° - (1/2)∠ABC = 360° - 2∠ABC, или ∠ABC = 60°.

Ответ: ∠ABC = 60°.

СПАСИБО