Помогите с геометрией

Не стоит доверять нейросеткам

Всё просто - зафиксируем один из шаров и рассмотрим самый далёкий от него. Вот его можно выдвинуть по направлению , параллельному отрезку между центрами выбранных двух шаров. Аккуратно так: провести (n-1)-мерную плоскость через центр далёкого шара перпендикулярно отрезку между центрами, тогда в силу выбора шара все центры шаров лежат по одну сторону от этой плоскости, поэтому на обозначенной выше траектории движения далёкого шара не может быть никаких шаров.

Для доказательства того, что один из шаров в пространстве можно выдвинуть, рассмотрим следующую логику:

Предположим, что ни один из шаров не может быть выдвинут. Тогда каждый шар полностью расположен внутри ограниченной области, которую мы можем назвать контейнером. Этот контейнер также будет сферой, поскольку все шары являются сферами.

Теперь рассмотрим следующее: если мы возьмем два шара и поместим их так, чтобы они касались друг друга, то мы получим новый шар, который будет помещен внутри контейнера. Если мы продолжим это действие для каждой пары шаров, то мы получим все новые и новые шары, каждый из которых будет помещен внутри контейнера.

Но это означает, что мы можем продолжать создавать новые шары до тех пор, пока не получим шар, который будет настолько маленьким, что его уже нельзя будет поместить внутри контейнера. И это значит, что какой-то шар должен был быть выдвинут изначально.

Таким образом, мы доказали, что в пространстве, где расположены шары, всегда можно выдвинуть хотя бы один из них.

Аналогично можно рассмотреть и n-мерное пространство, где все шары являются n-мерными сферами. Также можно рассмотреть все возможные пары шаров и создавать новые шары, пока не получим шар, который нельзя будет поместить внутри контейнера. И опять же, это означает, что какой-то шар должен быть выдвинут.

Таким образом, мы доказали утверждение для любого n-мерного пространства.

Шар является выпуклым множеством.
Шар с конечным радиусом является ограниченным множеством.

Теперь рассмотрим два случая:

Если хотя бы один из шаров имеет конечный радиус, то он является ограниченным множеством и, следовательно, можно выдвинуть за пределы любого другого шара, который не содержит его центр.
Если все шары имеют бесконечный радиус, то они неограниченны и не могут быть полностью содержимы друг в друге. Следовательно, можно выбрать любой шар и выдвинуть его за пределы любого другого шара, который не содержит его центр.

Таким образом, в обоих случаях можно выдвинуть хотя бы один из шаров.

Для n-мерного пространства аналогичное рассуждение применимо, так как шары и в n-мерном пространстве являются выпуклыми и ограниченными множествами. Таким образом, можно выбрать любой шар и выдвинуть его за пределы любого другого шара, который не содержит его центр.