Геометрия, 10 класс, помогите, пожалуйста

Решение

Первый способ. Пусть DM ─ высота данной правильной треугольной пирамиды ABCD, R ─ искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр её описанной сферы лежит на прямой DM (рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую DM и точку C (рис. 2). Получим окружность радиуса R с центром на прямой DM, проходящую через точки D и C. Продолжим CM за точку M до пересечения с окружностью в точке C₁. Тогда R ─ радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника CDC₁, в котором

C₁D = CD = b, CC₁ = 2CM =
2a√ 3
3
.

Из прямоугольного треугольника CDM находим, что

cos ∠DCM =
CM
CD
=
a√ 3 /3
b
=
a
b√ 3
.

Поэтому

sin ∠DCM =
√ 1 − cos² ∠DCM
=
√
1 −
a²
3b²
=
√ 3b² − a²
b√ 3
.

Следовательно,
R =
C₁D
2 sin ∠DCC₁
=
C₁D
2 sin ∠DCM
=

b
2
√ 3b² − a²
b√ 3
=
b²√ 3
2√ 3b² − a²
.


Второй способ. Пусть O ─ центр сферы, описанной около данной правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D. Поскольку пирамида правильная, точка O лежит на её высоте DM. Из прямоугольных треугольников DMC и OMC находим, что

DM =
√ CD² − CM²
=
√
b² − (
a
√ 3
)
²

=
√ 3b² − a²
√ 3
,

OM =
√ OC² − CM²
=
√
R² − (
a
√ 3
)
²

=
√ 3R² − a²
√ 3
.

Если точка O лежит на отрезке DM (рис. 1), то OM + OD = DM, или

√ 3R² − a²
√ 3
+ R =
√ 3b² − a²
√ 3
.

Решим полученное уравнение:

√ 3R² − a²
√ 3
+ R =
√ 3b² − a²
√ 3
⇔
√ 3R² − a²
√ 3
=
√ 3b² − a²
√ 3
− R ⇒

⇒ R² −
a²
3
= b² −
a²
3
−
2R√ 3b² − a²
√ 3
+ R² ⇔

⇔
2R√ 3b² − a²
√ 3
= b² ⇔ R =
b²√ 3
2√ 3b² − a²
.

Возможен также случай, когда точка O лежит на продолжении высоты DM за точку M (рис. 3). Тогда OD = OM + DM, или

R =
√ 3b² − a²
√ 3
+
√ 3R² − a²
√ 3
,

откуда

R =
b²√ 3
2√ 3b² − a²
.