Геометрия. Задача на описанную окружность за 8 класс

Проведём высоту BD, являющейся также медианой (то есть AD = 1/2 AC = 9). Центр O описанной окружности радиуса R лежит на BD, причём треугольник AOB равнобедренный со стороной R. Проведём высоту OE на AB, являющейся также медианой (то есть BE = 1/2 AB = 15/2).

По теореме Пифагора BD² = AB² – AD² = 225 – 81 = 144, BD = 12.

Косинус угла ABD из треугольника ABD равен BD/AB = 12/15, из треугольника OBE равен BE/OB = 15/2 / R, откуда R = 15/12 * 15/2 = 225/24 = 75/8 = 9,375.

Кстати, формула в вопросе должна быть R= abc / 4S.

Да, можно решить эту задачу без использования формулы R = 4S / abc, используя свойства равнобедренных треугольников и теоремы о треугольниках.

Поскольку треугольник равнобедренный, его биссектриса, проведенная из вершины угла между боковой стороной и основанием, будет являться высотой и медианой треугольника.

1. Найдите высоту треугольника:
Высота разделит основание на две равные части. Таким образом, высота будет составлять половину основания, то есть h = 18 / 2 = 9.

2. Найдите длину медианы:
Медиана разделит боковую сторону на две равные части. Обозначим половину боковой стороны как m. Тогда m = 15 / 2 = 7.5.

3. Используя теорему Пифагора в треугольнике со сторонами 9, 7.5 и радиусом описанной окружности R, получим:
9^2 = R^2 - 7.5^2
81 = R^2 - 56.25
R^2 = 81 + 56.25
R^2 = 137.25

4. Извлеките квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти радиус описанной окружности:
R = √137.25
R ≈ 11.71

Таким образом, радиус описанной окружности равнобедренного треугольника составляет примерно 11.71.