мать (70лет) завещала квартиру подруге, не сказав дочери. Как опротестовать это завещание?

опротестовать только через суд
доказать что мать не понимала своих действий в момент написания завещания
иначе НИКАК

А мама то жива? Завещание при жизни наследодателя вообще не оспаривается. А так, подойдите к зеркалу, посмотритесь и спросите у отражения, а за что это мама Вас так "любит" ("любила")

Завещание - это личное волеизъявление гражданина.
Если мать решила составить завещание в пользу другого лица - это ее личное дело. Рассказывать о принятом решении дочери (или еще кому-либо) она не обязана.
Признать завещание недействительным возможно только после смерти завещателя, и только при условии, что на момент составления завещания завещатель находился "не в здравом уме", не осознавал суть происходящего, действовал под давлением.
Однако, поскольку завещание должно быть удостоверено нотариально, доказать это практически невозможно. Если бы у нотариуса возникли сомнения в том. что завещатель не отдает отчет своим действиям - завещание бы удостоверено не было.
По всей видимости, у матери были веские причины составить завещание не в пользу родственников.
Удачи!

Ни как.

Если мама не была на момент составления завещания не дееспособной и и нет доказательств составления его под угрозой, оспорить завещание практически не возможно! Если Вам на момент ее смерти исполнилось 55 лет или Вы являетесь инвалидом, имеете право на обязательную долю!

Всё с точностью до наооборот, как здесь выше написано. По нашему законодательству очень непросто лишить права наследования. Мать должна в суде доказать, что дочь нерадивая, не исполняет своих дочерних обязанностей, т. е, фактически, юридически отречься от дочери и, таким образом лишить её наследства. А в данном случае, она может лишиться только доли наследуемой квартиры, определяемой в суде.

Это ее право.
Для того, чтобы признать завещание недействительным надо доказать, что мать, завещая квартиру подруге, не отдавала отчет своим действиям и не могла руководить ими ( такое бывает у людей неврологически или психически больных) , либо завещала квартиру под влиянием угрозы, обмана со стороны подруги или заблуждения и злоупотребления доверием.
Также завещание будет признано недействительным если завещатель ранее был признан недееспособным решением суда.

Это делается через суд, а как это уже другой вопрос. Задавайте.

Если мать была вменкма на момент написания завещания вы ничего сделать не сможете, ну только настоять на выплате части стоимости квартиры. Может, надо было любить свою мать?

мжно через суд.... но отсудить возможно только часть, это при хорошем раскладе. При условии, если дочь докажит, что она помогала матери, ухаживала за ней и т. д. Не пожалейте денег и обратитесь к юристу.