Если мать за свои средства покупала квартиру отцу, но при этом договор купли-продажи оформлен на отца, как это доказать

С ваших слов такие ДЕНЕЖНЫЕ СРЕДСТВА как правило не храняться в чулке или трех литровой банке, а как правило на счету банка, поэтому необходимо представить в суд документы о времени и количестве снятых денежных средств и документы о покупке квартиры.

Это придётся доказывать в СУДЕ.
А КАК - это уже дело адвоката, которого наймёт Ваша мать

Сами вы не сможете доказать . Вам нужен хороший адвокат.

Согласно законодательства при совместном проживании супругов все средства считаются совместно нажитыми и при разводе делятся пополам.

Надо было зафиксировать юридически факт оплаты (передачи денег) у нотариуса - Что денежные средства за данную квартиру внесены МарьИванной Ивановой... .
А иначе теперь - ФИГВАМ.

ни как

Ну и что? Собственником жилого помещения является ОТЕЦ. И вы уже ничего не сделаете. Если бы они состояли в браке, когда приобреталось жилье, тогда другое дело, а так.. .
Все, что вы можете сделать, - попытаться доказать, что между ними был заключен договор займа. Но если нет никаких документов, удостоверяющих передачу денег, вы заепетесь пыль глотать. Свидетельские показания судьей рассматриваться не будут в этом случае.

Боюсь в такой ситуации даже адвокат не поможет.

может остались какие то документы, свидетельствующие, что деньги за квартиру платила она, или, что она снимала их в банке и т. п, и конечно свидетельские показания

Вам нужно обратиться в опытному юристу, который сможет собрать необходимые доказательства. Документы, основании которых у матери появилась данная сумма, свидетели и пр.