Можно ли прописаться в неприватизированную квартиру , если сам прописан в приватизированной на правах собственника?

Как собственник жилого помещения вы можете сняться с регистрационного учета безо всяких проблем в связи с выездом в квартиру по социальному найму.
Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.
К членам семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма относятся проживающие совместно с ним его супруг, а также дети и родители данного нанимателя. Другие родственники, нетрудоспособные иждивенцы признаются членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма, если они вселены нанимателем в качестве членов его семьи и ведут с ним общее хозяйство. В исключительных случаях иные лица могут быть признаны членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма в судебном порядке.
То есть, если хотя бы один из проживающих будет против, то вы ничего не сможете сделать.

Можно, только зачем это нужно?

можно

Регистрация и в том и в другом случае одинакова. Это Ваша ОБЯЗАННОСТЬ зарегистрироваться по месту жительства.
А вот вселение в данных случаях различны. В собственность Вы вправе вселится по своему желанию, а в муниципальную квартиру Вы вправе вселится только на основании заключения (или изменения) договора социального найма.

Регистрация она и есть регистрация. Важно только то, приобретёте ли право на пользование жилплощадью в муниципальной квартире или нет.
С какой целью все эти процедуры!?