Могу ли я прописаться в квартире, оформленной по купле-продаже, не имея прав собственника?

Речь, вероятно, о договоре купли-продажи с рассрочкой платежа, по которому вы видимо заплатили первоначальный взнос, а остальное платить ежеквартально 10 лет (платежи по выкупу и проценты за рассрочку) . Неизвестно заключен ли договор у вас. Если да, то см. в свой экз. договора.
У покупателей по этому договору есть право проживания и пользования жилым помещением, обязанность по оплате жилищ. и комм. платежей ( и конечно обязанность платить за выкуп и рассрочку) . Прво собственности остается у продавца- г. Москвы до исполнения покупателем (вами) всех обязательств о договору. Т. е. регистр. перехода права собственности на покупателя после полной оплаты выкуп. стоимости. Можно и досрочно.
На основании этого договора- вселяетесь (получаете ключи) , открываете в ЕИРЦ фин-лиц. счет, живете, исполняете все обязанности по договору, на основании этого договора, раз вы законно вселились и есть право проживания, и фактич, проживаете, обязаны и зарегиться по месту проживания- обращ. в МФЦ с заявлением о регистр. по месту жительства на основании этого договора.
Если в МФЦ откажут- просите письм. отказ, и обращ. к собственнику жилого помещения- ДЖП от имени гор. Москвы это, с заявлением ( и приложением отказа в регистр) , разрешить от имени собственника - г. Москвы регистр. по месту жительства в жилом помещении (адрес) предоставленном вам для проживания ДЖПиЖФ по такому-то (реквизиты - номер, дата) договору.
Заяву на имя рук. ДЖП- Федосеева.

непонятно, вы фактически заселены туда или нет. и что за договор у вас, какие вообще есть документы

Оформив квартиру по договору купли-продажи вы будете её собственником. Почему нельзя получить там регистрацию?

Оформите право собственности с обременением в виде ипотеки и зарегистрируйтесь в этой квартире. Если сами не сумеете, попросите сопровождение оформления (копеечка солидная, а не так сложно, но по времени затратно) в юридической фирме..