запуск системы отопления начался со 2 октября, но в моей квартире батареи холодные, должна ли я оплачивать эту услугу?

Конечно конечно! При предоставлении коммунальных услуг ненадлежащего качества и (или) с перерывами, превышающими установленную продолжительность, потребитель имеет право изменения размера оплаты путем уменьшения стоимости услуг за этот период.

Согласно ст. 29 Закона РФ "О защите прав потребителей" потребитель при обнаружении недостатков выполненной работы (оказанной услуги) вправе по своему выбору потребовать в том числе соответствующего уменьшения цены выполненной работы (оказанной услуги) .
п. 64. Правил - В случае непредоставления коммунальных услуг или предоставления коммунальных услуг ненадлежащего качества потребитель уведомляет об этом аварийно-диспетчерскую службу исполнителя или иную службу, указанную исполнителем (далее - аварийно-диспетчерская служба) .
п 65. Правил - Сообщение о непредоставлении коммунальных услуг или предоставления коммунальных услуг ненадлежащего качества может быть сделано потребителем в письменной форме или устно (в том числе по телефону) и подлежит обязательной регистрации в аварийно-диспетчерской службе.
Вообщем все подробно описано в главе 8 Правил предоставления коммунальных услуг гражданам, утв. Постановлением правительства РФ № 307 от 23.05.2006.
Обращаю внимание - самый главный документ - акт! и вперед в ресурсоснабжающую организацию, удачи!

просто обязаны, но у вас есть право обратиться в суд о нарушении договора и предоставления услуг не в полном объеме.

Обратитесь с заявление в Управляющую Компанию и вам произведут перерасчет. Другой вопрос когда?

если не хотите оплачивать - надо составлять акт, должен же перерасчет вам чем-то обосновываться

да, конечно!