Может ли мой отец выписать меня и моего несовершеннолетнего сына из квартиры без согласия моей матери?

Тут необходимо знать кто являлся пайщиком данной квартиры, если родители в месте являлись пайщиками, то при выплате пая они уже стали собственниками данной квартиры. Произвести раздел кооперативной квартиры он не сможет, он сможет только выделить доли, если они не выделены. Снять с регистрационного учета он вас не сможет, а вашего несовершеннолетнего ребенка снять с регистрационного учета до исполнения 18 лет невозможно.

раз ваш отец не является единственным владельцем квартиры, то он один и не может решать, кого выписывать, а кого нет.

Непонятно чья квартира, получается отца и матери, а мать тогда имеет право прописать Вас на свою долю. Если же квартира отца, может выписать вас всех.

вы зарегистрированы на площади находящейся в собственности двух человек
и если один из со-собственников обратится в суд - вас и вашего ребенка снимут с учета

Снятие с регистрационного учета без согласия лица, осуществляется через суд. Пусть подает в суд, суд разберется.

Если собственники квартиры родители, отец в одиночку (без исковой поддержки матери) не имеет право вас выписать. Выписка производится в судебном порядке. Если собственник один по 31ЖК не составит труда выписать и вас и ребенка, но если вы не имеете другого жилья и нет финансовой возможности снимать квартиру, вы вправе просить у суда, что бы вас обеспечили временное проживание (встречный иск).