Имеет ли мой ребёнок право на жилплощадь мужа если муж прописан у своей матери и квартирасьёмщик она?

Касательно квартиры родителей вашего мужа: если ваш совместный ребенок в указанной квартире не зарегистрирован. Следовательно, он не имеет права пользования указанной квартирой. Его права возникнут лишь только после смерти его отца и только в случае, если квартира родителей вашего мужа приватизирована, то есть является их собственность.
Учитывая, что вы интересуетесь правами вашего ребенка на квартиру, в которой проживает ваш муж. об этом обстоятельстве подробнее.
Как было указано выше, ваш ребенок в настоящее время не имеет никаких прав на указанную квартиру. Однако он может быть в ней зарегистрирован, если на это будет ваше согласие и согласие вашего мужа. Родителей мужа в данном случае даже никто спрашивать не будет – несовершеннолетний ребенок может быть прописан в квартиру по месту жительства родителя без согласия иных граждан, зарегистрированных в указанном жилом помещении (вне зависимости от того, приватизирована квартира или нет) . В этом случае, он получит право пользования квартирой родителей вашего мужа бессрочно (в том числе после наступления совершеннолетия) .

В случае, если квартира родителей вашего мужа приватизирована, то ваш совместный сын сможет наследовать квартиру родителей вашего мужа после смерти родителей вашего мужа и вашего мужа, т. е. отца вашего ребенка. Понимаю, что это звучит несколько грубо, однако закон гласит именно так: после смерти собственника, его имущество распределяется между его наследниками первой очереди в равных долях (сын наследует после смерти своих родителей) .
Указанное имущество после смерти наследника наследуется детьми наследника в равных долях. Таким образом, в «очень далеко грядущей перспективе» ваш сын будет иметь права на квартиру родителей вашего мужа (в том числе собственности) , но только в случае, если квартира родителей вашего мужа приватизирована, и только после смерти прямых и косвенных наследодателей родителей мужа и соответственно его самого).

Прав у детей на собственность родителей не возникает.
Если у вашего мужа и его мамы соц. найм, то ваш муж может совершенно спокойно зарегистрировать ребенка по своему месту жительства ( согласия ни собственника, не отв. нанимателя не требуется) , и тогда у ребенка появятся все права, как и у всех зарегистрированных а этой площади.

ребенок имеет право проживать со своим отцом
без согласия других
кто такой квартиросъемщик? нет такого в законе

Только если он имеет в своей собственности там часть квартиры.

Нет, не имеет.

ребенок может быть зарегистрирован у одного из родителей. по вашему вопросу не ясно квартира муниципальная или частная?