Очень нужны ваши ответы!

Из вашего рассказа понятно, что квартира муниципальная.
1. "Через суд" приватизировать нельзя. Если хотя бы кто-то один будет против, приватизация не состоится. Более того - несовершеннолетние обязательно участвуют в приватизации, в результате сестра с детьми получат долю 4/6, а вы и третья сестра - по 1/6. Если кто-то из вас (вы или третья сестра) родит ребенка, то доли распределятся по иному. Мое мнение - приватизировать все же нужно, 1/6 - лучше, чем ничего. Продать "через суд" тоже нельзя. Каждый из собственников вправе продать свою долю отдельно, предварительно предложив выкупить ее остальным сособственникам (ст 250 ГК) , если откажутся или не ответят в течение 30 дней - можно продавать на сторону (на практике такие доли выкупают сами агенты, далее вселяются и дожимают несогласных собственников на продажу остальных долей, в результате получают квартиру за копейки и выставляют ее на продажу по более выгодной цене)
2. Взыскивать неоплаченные ЖКУ ЕИРЦ будет с всех совершеннолетних зарегистрированных лиц солидарно. Т. е. по исполнительному документу (исполнительный лист или судебный приказ) пристав взыщет с того, с кого будет возможность (кто более платежеспособен) . Оплативший весь долг солидарный должник будет иметь право регрессного требования к остальным за вычетом доли, падающей на него самого (ст 325 ГК) . Можно не дожидаться, пока ЕИРЦ взыщет, а оплатить добровольно и взыскать с сестры ее часть в порядке регресса (100 % выигрышное дело, но исполнять решение с безработной матери-многодетки заколебетесь)
3. Можно разделить оплату ЖКУ. Не путать с разделом лицевых счетов! (раздел ФЛС невозможен с 1 марта 2005 года) . Делить в этом случае будете ЕПД (единый платежный документ) , я сомневаюсь, что ЕИРЦ пойдет на это добровольно, придется посудиться с ними, но дело тоже выигрышное, хотя муторное (ст 69 ч 4 ЖК РФ, Пленум ВС от 02.07.2009), платить в дальнейшем будет каждая сестра по своему ЕПД.
4. Субсидию без ваших справок действительно не получить. Но вы можете предоставить в ЕИРЦ документы, что проживаете по другому месту жительства (например, регистрация по месту пребывания) , ЕИРЦ обязан сделать перерасчет. Такой финт можно провернуть не более, чем на 6 мес. Взыскать задолженность, образовавшуюся за этот период, с вас не должны, т. к. вы временно выбывали (но они все равно будут пытаться, надо будет грамотно писать возражения на иск) .
Если надо еще что-то уточнить - пишите, прокомментирую.

Сколько эмоций и какая длинная трогательная история, а главного нет. Кто собственник?
P.S. А, понял, неприватизированная, значит, муниципальная. Следовательно все зарегистрированные должны оплачивать коммунальные услуги независимо от того, проживают они там или нет.

доказывайте в суде, что вы не пользовались услугами электроэнергией

Да эмоций много а сути мало
Прописок в РФ нет, есть регистрация по месту жительства (штамп в вашем паспорте, проверьте название)

А платить за коммунальные услуги должны все собственники, если собственность или наниматель и члены его семьи.
То чты вы там не живете и не пользуетесь не дает вам права не платить, это про ваше необоснованное зло.

А субсидию оформляют на всех проживающих, что правда то правда.

Так как квартира в социальном найме то плата делится на всех проживающих указанных в договоре социального найма
Приватизация возможна при согласии всех на участие в ней, и ни какой суд не обяжет приватизировать если кто то против будет.
Приватизация будет на шестерых на 1/6 каждому.
А не хотите платить выселяйтесь и снимайтесь с регистрации по месту жительства ни каких прав, и обязностей все просто

Троих детей куда выкидывать собрались? То, что там не проживаете- так надо было давно заявление в ДЭЗ писать. И, кстати, положение об автоматической выписке непроживающих в квартире и не уплачивающих коммунальные услуги никто не отменял. Так что, подумайте на досуге, прежде, чем мать с детьми жилья лишать.

вы там зарегистрированны- обязаны платить. Квартира не приватизированна, соответственно ни о каком либо наследстве не может идти и речи. По поводу обязать ее приватизировать, нет такого закона ( а вы сами подумайте, если проще говоря, не хочу я быть ответственным за эту квартиру, вот и приватизировать н буду).

1. Надо платить и выписываться-иначе Вас выселят в другую квартиру (с меньшей площадью)
2. Без добровольного согласия всех жильцов квартиры-приватизация невозможна-даже через суд.

Вообще то сначала надо было вступить в наследство по поводу квартиры, а потом решать, что с ней делать, если жила сестра с детьми, то где ее муж, на что живет? И почему не оплачены услуги за теплоэнергию? Вопросов очень много и определенного ответа дать не могу.

Тяжелый случай, у меня еще тяжелее был, я просто наняла риэлтора, сказала, что мне нужно от него, в нашем городе это стоит 10000 руб, и все, а еще написала ему доверенность на представление моих интересов, прошло 1,5 года, все встало на свои места, он так всех затрахал в свое время, что все согласились на приватизацию и на дальнейшую продажу, так что удачи! Кстати, он даже знаете, что делал, на мою площадь, ну сколько мне там положено, приводил посторонних людей, типа снять квартирку и пожить у всех моих родственников, которые до этого времени там жили себе в удовольствие, ну примерно, как ваша сестра, волосы дыбом встали, и сами начали мне звонить, договариваться