Прописана у бабушки в 1 комн.квартире.Но есть завещание на её сыновей.Какие права я имею на эту квартиру?

зависит от формы прописки, потому что существует форма без правы на собственность!

право пользования жильем.

никаких

Никаких. Можете, по решению суда, отсрочить выселение, в связи с неимением другой жилплощади. Но это-на усмотрение суда. Если конечно, бабушка впишет вас в завещание, то тогда все изменится!

Прописка не даёт прав на собственность.

Завещание на сыновей? А Вы совершеннолетняя? Иждевенец? Если несовершеннолетняя и иэдивенец, то имеете право на обязательную долю в наследстве, если нет - то ничего не имеете.... Они будут сособственниками и как захотят так и распорядятся.

если только Вы не нетрудоспособный иждивенец бабушки, то никаких)

Вы наследник второй очереди.
Право на наследование квартиры вы имеете только в том случае. если сыновья откажутся от наследства или не вступят в наследство.
И то в равных долях с другими наследниками второй очереди, если они тоже подадут заявление о вступлении в наследство. Если не подадут или откажутся, то вы будете единственной наследницей.

В любом случае у Вас сохранится право на регистрацию с проживанием! Пусть и вез права собственности.

в течение полугода после смерти бабушки Вы имеете право заявить о своих правах на наследство (квартиру) на основании прописки на данной жилплощади, а после полугода в судебном порядке будет решаться судьба Вашего заявления. Но следует учесть, что привилегии получения наследства всё же у сыновей, т. к. именно они являются прямыми наследниками по завещанию