наследственное дело с 1 комнатной квартирой

Идите к адвокату с пакетом документов по квартире, сведениями о том, кто жив, а кто умер и с документами, подтверждающими Ваше родство (чьим там Вы себя внуком считаете).

внук наследует имущество бабки и деда только если его родитель-наследник умер. Вы не можете получить квартиру целиком.
Наследники после подачи заявления нотариусу во времени не ограничены. Хоть через 10, хоть через 20 лет оформляться могут. вы можете предложить им дооформить наследство и продать их доли вам.

Не можете вы стать собственником долей умерших при живых наследниках первой очереди.

в судебном порядке доказывайте факт принятия наследства только Вами и соответственно право собственности. А сыновья подали заявления нотариусу в 6-месячный срок?

Не корректно сформулирован вопрос. Кем Вы приходились умершим сособственникам квартиры, и почему полагаете, что имели право ранее, да и сейчас вправе оформить квартиру целиком на себя? Вы написали, что сыновья подали заявление на права родителей, но по истечении 10 лет так и не вступили и не оформлили нужным образом свои права наследства. Фактическим вступлением в права наследства признается сам факт обращения с заявлением к нотариусу либо о вступлении в наследство, либо о выдаче свидетельства о праве на наследство. Дальнейшее документально оформление наследственных прав сроками не ограничено и является правом, а не обязанностью наследников. При таких обстоятельствах, если Вы все правильно описали, то сыновья являются сособственниками квартиры. Для уточнения вопроса можете написать мне в почту. Если же сыновья фактически наследство не приняли, то почему Вы считаете, что вправе наследовать доли умерших? Вы являетесь наследником какой то из очередей?