можно ли прописать ребенка до совершеннолетия без каких либо прав на квартиру с его стороны и со стороны его матери?

Если женщина с ребёнком не являются членами вашей семьи, то в муниципальной квартире их вряд ли зарегистрируют, если же, квартира является вашей собственностью, то можете без проблем предоставить им право пользования данным жилым помещением, никаких имущественных прав на квартиру они иметь не будут.
P.S. " Прописки " нет с 1993 года, есть регистрация по месту жительства или месту пребывания! Заключайте с ними договор найма или договор безвозмездного пользования квартирой на 2-а года, в течение этого времени они имеют право беспрепятственно проживать в вашей квартире! Регистрация по месту ПРЕБЫВАНИЯ заканчивается автоматически по истечении срока её действия

Прописать нет. В России институт прописки отсутствует.
Если квартира находится в муниципальной собственности, Вы сильно рискуете, я бы не рекомендовал Вам регистрировать ни маман, ни ее ребенка.
Если в Вашей собственности, то регистрация в данном случае безопасна.

совершенно непонятно, что вы имеете ввиду под "прописать, а не сделать регистрацию". Это невозможно, прописки давно нет, а есть ТОЛЬКО регистрация. на 2 года вы ее можете оформить легко и просто - путем обращения в вашу УК. истечет она сама собой через эти 2 года, и право пользования жильем у человека БУДЕТ именно потому, что он будет там зарегистрирован. и за коммуналку надо будет платить за него.
И если кто-то вам говорит иначе, то вам просто вешают лапшу.

Просто прописать не получится. Потому, что прописки больше не существует. Есть только регистрация: по месту проживания (раньше называлась - постоянная прописка) и по месту пребывания (временная прописка) . Регистрация по месту пребывания прекращается после истечении ее срока. Временный жилец выписывается по заявлению владельца квартиры. Но на Вашем месте я не стал бы регистрировать чужого ребенка в своей квартире.

Можно. Прав его матери не будет. Но ребёнка до совершеннолетия будет очень трудно выписать.

Смотря что имеется в виду под "правами на квартиру"

Если право собственности - то без проблем. Никаких прав от регистрации не возникает.

Если право пользования - выписать ребенка будет сложно. А тут еще статья 54 семейного кодекса

Статья 54. Право ребенка жить и воспитываться в семье

1. Ребенком признается лицо, не достигшее возраста восемнадцати лет (совершеннолетия) .
2. Каждый ребенок имеет право жить и воспитываться в семье, насколько это возможно, право знать своих родителей, право на их заботу, право на совместное с ними проживание, за исключением случаев, когда это противоречит его интересам.
Ребенок имеет права на воспитание своими родителями, обеспечение его интересов, всестороннее развитие, уважение его человеческого достоинства.
При отсутствии родителей, при лишении их родительских прав и в других случаях утраты родительского попечения право ребенка на воспитание в семье обеспечивается органом опеки и попечительства в порядке, установленном главой 18 настоящего Кодекса.

Если эту статью вывернуть, то мама может требовать проживания с ребенком.

Регистрация право на собственность не дает. В листочке о прописке (ребенка и матери)) будет стоять стоять дата регистрации и дата снятия с регистрационного учета (автоматом)