Нужно ли платить пошлину нотариусу при вступлении в права собственника по завещанию?

Да, конечно! И немалая сумма.

Нужно. Только не при вступлении (вступить можно в партию или говно) в права собственника, а при принятии наследства

За выдачу свидетельства о праве на наследство уплачивается госпошлина - 0,3 % от стоимости наследственного имущества для близких родственников наследодателя и 0,6 % - для остальных наследников + тех. работа нотариуса !

При оформлении наследуемого имущества надо заплатить еще госпошлину или нотариальный тариф за выдачу свидетельства о праве на наследство.
Согласно п. 22 ст. 333.24 НК РФ госпошлина составит:
1) близким родственникам, наследникам первой и второй очереди – детям, в том числе усыновленным, супругам, родителям, полнородным братьям и сестрам – 0,3 % от стоимости наследуемого имущества. Но не более 100.000 рублей;
2) другим наследникам – 0,6 % от стоимости наследуемого имущества. При этом госпошлина (тариф) для наследников по закону и по завещанию одинаковы. При получении свидетельства о праве на наследство действуют льготы, предусмотренные ст. 333.38 НК РФ. От уплаты госпошлины могут быть освобождены:
1) лица, наследующие жилье, либо часть его, в котором они проживали вместе м наследодателем на день его смерти, и продолжают там проживать после;
2) наследники, не достигшие совершеннолетия ко дню открытия наследства;
3) лица страдающие психическими расстройствами, над которыми установлена опека в порядке, определенном законом;
....

Конечно надо.
Он что за БЕСПЛАТНО ЗАВЕЩАНИЕ ХРАНИЛ.