Купили квартиру (ТСЖ) , проживаем втроём. Но зарегистрированы в квартире, где проживали ранее, в том же городе. В той ква

Абсолютно незаконно. Никто не вправе обязать гражданина платить по нескольким адресам. Если вы действительно представили платежные документы, подтверждающие оплату ЖКУ по ФАКТИЧЕСКОМУ месту пребывания, то ни одна УК не может начислять вам платежи по месту регистрации или требовать, чтобы вы зарегистрировались по новому адресу. Ваша регистрация - это ваше личное дело.
Другой вопрос, что вам каждый месяц придется брать справку из ТСЖ о расходах на коммуналку и просить перерасчета в своей УК по старому адресу. Удобнее было бы и в самом деле поменять регистрацию.
И еще одно: по старому адресу, где не живете, вас освободят от оплаты ХВС и ГВС, канализации, газа. Но останутся платежи за отопление и плата за содержание дома, вывоз мусора, капремонт - потому что собственник несет эти расходы независимо от проживания.

Несогласны? Идите в суд.
Статья 155 ЖК РФ. Внесение платы за жилое помещение и коммунальные услуги
11. Неиспользование собственниками, нанимателями и иными лицами помещений не является основанием невнесения платы за жилое помещение и коммунальные услуги. При временном отсутствии граждан внесение платы за отдельные виды коммунальных услуг, рассчитываемой исходя из нормативов потребления, осуществляется с учетом перерасчета платежей за период временного отсутствия граждан в порядке, утверждаемом Правительством Российской Федерации.

Законно. Основанием для перерасчета служит регистрация по месту постоянного проживания. Если поставите счетчики-проблем не будет

Да. Вам должны на слово верить? - с вас не имеют право денег брать, где не зарегистрированы, (если нет счетчиков) .
Поставьте везде счетчики и не надо ничего пересчитывать.