Первую квартиру продает отец, а вторую покупает сын, нужно ли, и кому платить налог? И как его избежать?

Ответить вам трудно, потому что Вы вопрос толком не формулируете.
Можно только догадываться, чего хотели бы достичь.
НДФЛ- налог на доходы физлиц - 13%.
При продаже квартиры, кот. в собственности более трех лет НДФЛ не платят, поэтому, раз продаваемая квартира у отца в собственности более трех лет, "избегать " отцу нечего: нет НДФЛ у него.
Даже декларацию ему подавать не нужно.
Отец на деньги, вырученные от продажи квартиры можете себе в собственность купить иное жилое помещение по дог. купли-продажи, и может именно покупатель- отец получить возврат НДФЛ при покупке, если он ранее этим однократным правом не пользовался, и вообще- плательщик НДФЛ.
Отец потом может вам в собственность передать квартиру- договором дарения. Вы НДФЛ с дохода от дарения платить не будете, поскольку дарение между близкими родственниками отец/сын.
Отец может совершить сделку в пользу третьего лица, т. е. он заключает договор и платит, а в собственность вам - квартиру, но возврат НДФЛ вы не получите, и он не получит. Потому что вы не платили, а он- не собственник.
Если отец подарит вам деньги и вы купите себе в собственность квартиру ( по договору покупатель и собственник) , и ранее однократным правом на возврат при покупке недвижимости Вы не пользовались, и работающий,
то возврат НДФЛ не получите, потому что вы по ставке 13% не платите НДФЛ, вы- "ИП" и "на вмененке", как это следует из предыдущего вашего вопроса.

Мало исходных данных.

Отец платит налог. Сыну налоговый вычет не положен из-за родственных связей.

Отец продает старую квартиру. Если она была в собственности менее 3 лет, платит налог с суммы продажи минус 1 миллион, либо с документально подтверждённой разницы между ценой, за которою он эту квартиру продал и той, за которую её когда-то покупал. Если квартира в собственности 3 и более года, то ничего не платит. Куда он дальше полученные деньги дел, его личное дело. Сын покупает себе новую квартиру. Где он взял на это деньги, никого не касается.

1.Отец оформляет квартиру на сына по договору дарения - налога нет даже в том случае, если квартира у отца была в собственности менее 3 лет ( близкие родственники) . 2. Отец приобретает квартиру, используя денежные средства, которые ему предоставил сын (вне связи с договором дарения!) . 3.Сын покупает квартиру в пользу отца, такой договор называется Договор в пользу третьего лица и не предусматривает в дальнейшем раздела квартиры между супругами при разводе.

Если то, что продается менее 3-х лет, то налог 13% с суммы указанной в ДКП, за вычетом 1 милл. р. налоговый вычет для продавца.

А что с третей?