что будет с долей умершего в квартире, если родственники не будут ходить и оформлять её?

Может отойти государству. Надо оформлять в срок.

эта доля будет признана выморочной и будет передана местной администрации
Неужели Вам нужен какой-то подпольный сосед?

Нужно принимать наследство не позднее 6 мес со дня смерти...
Всё зависит от того кто умер, как приобреталась собственность.

Если квартира не приватизирована, то никакого наследства нет

Кто когда умер? Какое имущество входит в наследственную массу?
Кто призывается к наследованию? наследники по завещанию и/или по закону?
читайте с матерью ГК РФ
Раздел V. Наследственное право
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/#dst0
и это почитайте
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ОФОРМЛЕНИЮ НАСЛЕДСТВЕННЫХ ПРАВ
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_71348/
-----------
Надо принять наследство в течение 6 мес с даты открытия наследства (заявлением нотариусу или фактически). а через 6 мес. получить свидетельство о праве на наследство, на основании которого зарегить право собственности на долю в жилом помещении в ЕГРН Росреестр.
------------
Имущество не ходит, ни на автомате, ни так....
----
НК РФ Статья 333.38. Льготы при обращении за совершением нотариальных действий
От уплаты государственной пошлины за совершение нотариальных действий освобождаются:
....
5) физические лица - за выдачу свидетельств о праве на наследство при наследовании:
жилого дома, а также земельного участка, на котором расположен жилой дом, квартиры, комнаты или долей в указанном недвижимом имуществе, если эти лица проживали совместно с наследодателем на день смерти наследодателя и продолжают проживать в этом доме (этой квартире, комнате) после его смерти;
...
вкладов в банках, денежных средств на банковских счетах физических лиц, страховых сумм по договорам личного и имущественного страхования, сумм оплаты труда, авторских прав и сумм авторского вознаграждения, предусмотренных законодательством Российской Федерации об интеллектуальной собственности, пенсий.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_28165/8f97b71d9f49e21d1aa2606a413e4c9068fe7014/
----
Та что если мать с наследником проживала (зарегена ) вместе с наследодателем в жилом помещении. доля в праве в кот. входит в наследств. массу. ей не платить госпошлину.
Так что ведите ее к нотариусу оформлять как положено.
Если речь о смерти мужа матери, он же - Ваш отец, то и Вы -наследник по закону, наравне с матерью своей.
Наследники первой очереди по закону: родители умершего, супруг, дети (внуки по праву представления).

Подаришь государству.

Аль Капоне Аль Капоне именно это" умер брат матери, пол квартиры было его, пол квартиры матери, жили раздельно, у него не кого больше нет, не жены не детей, только сестра- мать....).. и следовало изложить в вопросе . а не в комментарии .Не прошло 6 мес со дня смерти брата, маме надо срочно обращаться к нотариусу.
Пропустила 6 мес. и через суд не примет. -не представит уважительную причину пропуска срока для принятия наследства, о наследстве может забыть.
Принятие наследства это не обязанность, а добрая воля наследника.

Если лицевой счет был общий, то оплачивая ком. платежки в полном объеме - мать считается фактически принявшей наследство, что убережет ее от суда для восстановление пропущенных сроков по принятию наследства, но пойти к нотариусу надо срочно, Вы как сын должны уговорить ее, неграмотную, это же и Ваша квартира в будущем... И взять расходы на себя, это обойдется всего лишь в уплату УПТХ - услуг правового и технического характера, 3 тыщи было в декабре.. Нотариус, ближайший к дому, проконсультирует вас бесплатно. Другое дело, если квартира не была приватизирована, а Вы по незнанию толкуете о долях. Посмотрите в платежках на оплату ком. услуг, там должно быть помечено если собственность.. Если такого слова нет - квартира в соц. найме, и тогда достаточно через паспортный стол снять дядю с регистрационного учета. В любом случае не помешает через нотариуса сделать запрос на наличие у дяди сбережений в СБбанке. Там могут быть у пожилых людей начисления компенсаций на старые вклады + 6 тыщ на погребение. Я маму похоронила летом, нежданных денег оказалось более 14 тыщ, компенсировала ими все нотариальные затраты по квартире и вкладам и еще осталось.

Нужно вступать а права наследования. Проконсультируйтесь у нотариуса.