Сможет ли претендовать на жильё?

Может, она такая же наследница, как и вы.

если он имел долю в собственности - то да, наравне с прочими наследниками первой очереди

Претендовать можно только на имущество. Претендовать на прописку невозможно. Если у вашего отца было на момент смерти какое -то имущество, то ВСЕ его дети наследуют это имущество в равных долях.

Да, может претендовать на жильё.

смотря что значит, претендовать.

Если отцовство утановлено. то не имеет значение наличие брака между отцом и матерью этой дочери. Кроме установления отцовства, также имеет значение, а был ли Ваш отец собственником этого жилого помещения. Если был и не оставил завещание, то наследуют наследники первой очереди, к которым относятся все его дочери.

"У моей Мамы есть Мама которая её купила эту квартиру, а потом переоформила её на свою дочку (мою Маму) " Если бабушка подарила квартиру маме, значит отцу она не принадлежала.
Если продала, то она является совместной собственностью обоих родителей. (спроси у мамы) Регистрация по месту жительства не порождает права собственности на жилое помещение (квартиру). Наследовать можно только то имущество, которое было у вашего отца ко дню его смерти.
Если было имущество у отца, то и первая дочка тоже наследница первой очереди на основании ст. 1142 ГК РФ http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/ded009db389f384c41e25cbd01e10c72a784a54d/ и не важно что рождена не в браке.

Чьё жильё? На что претендовать?
Вопрос конкретней задавайте.

На долю в наследстве имеет право

Непонятно конечно вы вопросы строите. Исходя из ваших коментов: папа с мамой были в браке, развелись, мама - собственник, папа был зарегистрирован.
Регистрация - сразу ни при чем, она не наследуется.
Вопрос: квартира была приобретена мамой в браке?
Если да, то 1/2 принадлежала отцу и подлежит наследованию в равных долях между вами и всеми другими его детьми, а также его родителями.
Если нет, то у отца не было имущества, подлежащего наследованию (если вы нам все рассказали).