Берется ли какой-нибудь налог, если заключить договор мены приватизированными квартирами?

Во первых, не имеет значения приватизированные ли это квартиры, или стороны договора мены (или одна из сторон) получили их в собственность в результате купли-продажи, дарения или в наследство. Главное, что каждая из сторон является собственником и может распоряжаться своей квартирой.
Во вторых, каждая из сторон договора мены признается продавцом квартиры, которую она обязуется передать, и покупателем квартиры, которую она обязуется принять в обмен (п. 2 ст. 567 ГК РФ) .
Поэтому, каждая сторона, как продавец своей квартиры, становится налогоплатильщиком по полученному доходу в натуральной форме, т. е. этим доходом является стоимость квартиры, полученной каждой из сторон. (если квартиры неравноценны и кто-либо получает доплату, то эта доплата также является налогооблагаемым доходом) .
НО..., в то же время каждая из сторон мены имеет право на имущественный налоговый вычет по правилам п. п. 1 п. 1 ст. 220 НК РФ, в результате чего и в зависимости от стоимости квартир и сроков владения ими, размер налога (НДФЛ) может быть существенно уменьшен, вплоть до нуля.
Кроме этого, каждая сторона мены, уже как покупатель квартиры, может воспользоваться (если ранее это право не использовала) имущественным налоговым вычетом для приобретающих жилье - по п. п. 2 п. 1 ст. 220 НК РФ.
Удачи.

Да, если квартиры неравноценны, то один из участников обмена получает некую прибыль, которая и облагается подоходным налогом.

Да налог все вы уплатите, за обмененную жилплощадь, всякие там справки, список можно продолжать!!!!