Имеет ли право работодатель на период испытательного срока не оформлять меня по трудовой?

Договор подряда является гражданско-правовым и гарантии предусмотренные трудовым кодексом на лиц работающих в соответствии с такими договорами не распространяются.

Вне зависимости от того принимается ли человек с испытательным сроком или без испытательного срока, по срочному или бессрочному трудовому договору запись в трудовую книжку должна быть внесена в течении 5 дней с момента приема на работу, если эта работа является основной.

Статья 66. Трудовая книжка
...
Работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) ведет трудовые книжки на каждого работника, проработавшего у него свыше пяти дней, в случае, когда работа у данного работодателя является для работника основной.

нет не имеет....

Имеет, конечно если ты не против. Контракт же подписали? А если хочешь оформиться по трудовой, то обязаны оформить.

Вас могли оформить по гражданско-правовому договору на опред. срок или на выполнение какого-либо объема работ (за работу - деньги, и больше ничего) , а могли бы и трудовой договор заключить. В любом случае один экземпляр договора должен быть у вас на руках, надо же знать, по какому договору вы работаете и что вам за это заплатят.

Вообще-то должен, в трудовой ставится дата фактического приема. В трудовом договоре такая же. Это в идеале, все зависит от работодателя.

Обязаны оформить. Прочитай договор. В некоторых организациях это не соблюдают.