Должность "инженер" переименовали в "специалист". Вносить ли это в трудовую книжку работника и как переименование или

Поскольку название должности является существенным условием трудового договора, при ее переименовании договор в любом случае должен претерпеть изменения. А как именно это будет происходить, решать вам.
Разумеется, можно оформить перевод. Ведь статья 72 Трудового кодекса подразумевает под переводом не только изменение трудовой функции, но и изменение существенных условий трудового договора. В этом случае нужно составить дополнительное соглашение к договору, издать приказ о переводе сотрудника с должности инженера на должность специалиста и внести соответствующую запись в его трудовую книжку. Помните, что перевод необходимо предварительно согласовать с работником.
Ну а если сотрудник не согласен на перевод, вы можете воспользоваться статьей 73 Трудового кодекса и изменить существенные условия его трудового договора без согласия работника. Обратите внимание: используя этот вариант, вы должны обязательно обосновать, по каким организационным или технологическим причинам изменяется наименование должности. Иначе в случае судебного разбирательства ваши действия могут быть признаны незаконными.

Никакого перевода.
Такие переименования возможны только путем внесения изменений в штатное расписание.
Запись в трудовой книжке будет такой: «Должность “инженер” переименована в “специалист”». В графу 4 нужно вписать реквизиты приказа об изменении штатного расписания.

Я конечно не кадровик, но как понимаю, с изменением наименования должности, меняется должностная инструкция. То что поменялось лишь название, роли не играет - как с вас работодатель что-то спросит? Вы скажете: Это не ко мне, я специалист, а не инженер. А должностная это неотъемлемая часть вашего трудового договора. Я полагаю, что и штатное расписание поменялось. Так что думаю - перевод. Ну, это навскидку - лучше у кадровиков узнать.

Обязательно.

да вносить как запись о переводе