У нас увольняется сотрудник, он изъявил желание, что б ему не заносили запись в трудовой книжке.

Обязательно внести запись. Сегодня ему "не хочется портить трудовую", а через годы он будет по крупицам собирать трудовой стаж и с пеной у рта доказывать, что ему в нарушение трудового законодательства недобросовестный работодатель не внес положенную запись. Оно вам надо?

Ну мало ли что человек хочет. Раз он уволен, значит и соответствующая запись должна быть. Если сотрудник думает, что без записи об увольнении ( типа он все еще работает) ему будет сохранятся стаж, то он глубоко ошибается.... На ваш вопрос "что делать в таком случае" есть один ответ. делайте все по ЗАКОНУ.

Нет. Это незаконно. Если человек работал у вас по ОСНОВНОМУ месту работы, а не по совместительству, вы обязаны были, как только приняли его, сделать запись о принятии его на работу. Если же вы этого не сделали тогда, значит надо сделать это сейчас. Если работник будет говорить о том, что не даст вам свою трудовую книжку (в случае если она у него на руках) , тогда вы должны завести новую трудовую книжку и заполнить ее. Соответственно, если он ее не хочет забирать, отправляйте по почте ценным отправлением. И ваша обязанность на этом будет выполнена. Вот как-то так. Человек может выбирать хочет он или не хочет запись в трудовую только, если он работает по совместительству.

Вы же за него и взносы платили, и отчитываться по нему будете.... И получается он у вас не работал????