Сын на службе в армии. Подскажите на каких основаниях я могу действовать от его имени.

Пусть он в воинской части получит справку о прохождении службы и сделает на Вас доверенность, заверенные командиром воинской части. А вообще-то непонятно: у кого на работе нарушили ТК. Если у сына, то как он уволился, не получив на руки трудовую? А если получил, то куда смотрел?

Если кадровик ошибся при применении статьи увольнения, то он не нарушил ТК, а нарушил Пункт 15 Правил и п. 5.2 Инструкции четко определяют, что при прекращении трудового договора по основаниям, предусмотренным ст. 77 ТК РФ (за исключением п. 4 и 10 ч. 1 этой статьи) , в трудовую книжку вносят запись об увольнении со ссылкой на соответствующий пункт этой статьи.
Ничего страшного не произошло. Все поправимо. Подойтите к девочкам в ОК и попросите внести изменения с п. 10 ст. 77, на п. 1 ст. 83. Сделают они это без всякой доверенности, т. к. ошибка допущена ими.

нужна доверенность от него на ведение дел

Только по доверенности. Я так понимаю, что его уволили по собственному желанию, а не в связи с призывом в Армию и соответственно не выплатили 2 недельное пособие? . Вопрос только в том что он писал в своем заявлении об увольнении и предоставил ли повестку в армию?
Доверенность он может написать и в армии и заверить у командира части или нотариуса. и прислать вам.
Имейте в виду, что срок для обращения в суд по делам об увольнении 1 месяц.

От сына доверенность, заверенная нотариусом