Можно ли выслать трудовую книжку по почте, и как это сделать?

Эта ситуация прямо изложена в части шестой ст. 84.1. ТК РФ. Вам необходимо прежде всего направить работнику уведомление о необходимости явиться за ТР/КН, либо дать согласие на отправку её по почте по указанному бывшим работником адресу. Уведомление отправить по почте заказным письмом с уведомлением его о вручении адресату. И ждать ответа. Это сделать нужно обязательно, так как со дня отправки уведомления вы автоматически освобождаетесь от ответственности за задержку выдачи ТР/КН. Только при непоступлении ответа в течение месяца направьте уведомление повторно, для надежности. Ну а если и на него не будет ответа - подшейте ТР/КН к карточке ф. Т-2 (или выберите иной способ) и храните ТР/КН "до востребования". Если работник даст согласие на отправку ТР/КН по почте - отправьте её ценным письмом (оцените стоимость бланка ТР/КН) также с уведомлением о вручении. И вопрос закрыт.

Конечно, оригинал зав\лени заказным письмом с уведомлением, потом также. наверное, и книжку можно выслать

Заказным письмом первого класса

он может отправить вам телеграмму, подлинность его подписи, личность и паспортные данные сверяет телеграфистка. В телеграмме пусть просит выслать трудовую книжку заказным письмом с уведомление и обязательно укажет на какой адрес.
После телеграммы- вы высылаете по адресу и всё

Заявление не обязательно. Телеграммами даже увольняются. Это допустимо

Ценным письмом с описью.... Опись с печатью почтового отделения + объяснительная ...ни одна трудовая инспекция не будет иметь притензий.

Заказным письмом с уведомлением