Вместо трудовой книжки, в кадры можно выписки отдать, чтобы ФСС, документы отдали?

Вы ведёте и бумажную и электронную или только электронную? Если только электронную, то бумажная вообще не является больше основным документом. При наличии полной версии электронной трудовой книжки с гос услуг, бумажную Вы предъявлять не обязаны. Бумажную предъявляют когда, к примеру, нет скачанной с гос услуг электронной ТК, а есть только справки СТД- Р от последних работодателей. Вот тогда уже для подсчета стажа новому работодателю предъявляется и бумажная ТК и справки СТД-Р с последних мест работы. А Ваш стаж спокойно можно посчитать по выписке из электронной трудовой, пусть кадровики не выпендриваются. С тем же успехом можете сказать, что бумажную трудовую потеряли.

У Вас каша в голове. ФСС - фонд социального страхования. К Вашей трудовой деятельности им интерес десятый, им нужна только цифра стажа: от 0 до 5 лет, с 5 до 8 и свыше 8 лет, чтоб 100 % по больничным листам оплачивать.
Если у Вас уже были выявлены ошибки в предоставлении данных в ПФР - Пенсионный фонд России, то в Ваших же интересах их исправить. с годами это будет сделать гораздо труднее. С электронных книжек граждан, это уже не секрет ни для кого, исчезает трудовой стаж с заядлой периодичностью. Восстановить его можно только при наличии документов, одним из них является бумажная трудовая книжка.
Что касается справок, то кадры принимают только заверенные выписки из ПФР или Единых центров документов. То, что Вы скачиваете на госуслугах - это справочная информация.
Вашему настойчивому кадровику можно премию выписывать.