Юристы и кадровые работники помогите!!!!

Да, можно, и Ваши дни больничного будут входить в счет "отработки" Ст. 80 ТК РФ
А вот к ней комментарий, не вес, но та часть которая подходит для Вашего случая. Можете сослаться на неё при разговоре с работодателем, если он не захочет принимать заявление.
5. Необходимость в расторжении трудового договора может появиться у работника не только в период работы, но и в то время, когда он по каким-то причинам отсутствует на работе, например в период временной нетрудоспособности, нахождения в отпуске в командировке. В связи с этим возникает вопрос, вправе ли работник подать заявление об увольнении по собственному желанию в это время и засчитывается ли оно в срок предупреждения об увольнении по собственному желанию?
Ответ на этот вопрос вытекает из основной цели предупреждения об увольнении, а именно: дать возможность работодателю подобрать нового работника на место увольняющегося по своей инициативе. Предупредив работодателя об увольнении заранее письменно, работник предоставляет ему такую возможность. При этом неважно, находится ли он на работе, в отпуске или болеет. Работодатель с момента подачи заявления об увольнении вправе начать поиски нового работника. Поэтому все это время со дня подачи заявления об увольнении по собственному желанию засчитывается в срок предупреждения об увольнении.
Если работник, находящийся в отпуске, просит уволить его в период отпуска и до истечения установленного законом срока предупреждения, а работодатель согласен на это, увольнение производится в срок, о котором просит работник.
Работодатель вправе расторгнуть трудовой договор с работником по окончании срока предупреждения об увольнении по собственному желанию и в том случае, если в период предупреждения работник заболел и на момент окончания срока предупреждения продолжает болеть, т. к. время болезни не приостанавливает срока, по истечении которого работник подлежит увольнению. Увольнение работника по собственному желанию в соответствии с его заявлением возможно и в период временной нетрудоспособности, т. к. инициатива увольнения исходит от работника, а не от работодателя.

заявление на увольнение по собственному желанию сотрудник может написать когда -угодно, это его ЛИЧНОЕ дело, отсчет времени пойдет на следующий день после подачи заявления. Не важно на больничном он, в командировке, в роддоме рожает или в офисе в простое крестиком вышивает.

заявление можете написать, работодатель вас уволит ровно через 2 недели если вы не заявите об отмене вашего решения об увольнении, а еще оплатит Вам полностью Ваш больничный :)