У работника остались дни от отпуска, но он не обращается за компенсацией, надо ли ему ее предлагать?

Вы можете выплатить компенсацию за эти дни, но не обязаны. Это добрая воля руководителя ( в соответсвии с возможностями организации) . Отправьте работника догуливать отпуск. У нас НИИ. Доктора наук имеют отпуск 56 дней, если все они захотят компенсацию, мы просто разоримся. Составьте график и отправляйте принудительно в соответствии с ним. Смотрите статьи 123-126 ТК РФ,

Часть ежегодного оплачиваемого отпуска, превышающая 28 календарных дней, по письменному заявлению работника может быть заменена денежной компенсацией. (ст. 126 ТК РФ) .
Работник может и не знать, что часть отпуска может быть заменена компенсацией. Если работодатель готов выплатить компенсацию, то ни что не мешает ему предложить это работнику.

Компенсация вообще то выплачивается только
при увольнении за все время которое работник
не отгулял. А если он продолжает работать,
то ему можно прибавить эти дни к следующему
отпуску.

Я всегда подсказываю работникам, когда можно получить компенсацию за часть неиспользованного отпуска.

компенсации вне зависимости от увольнения подлежат (по желанию работника) только ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ дни отпуска, то есть то, что определено сверх 28 календарных дней в ГОД!.

Где это такой отпуск? я тож туда хочу!! ! Мне даже неделю не дали летом!

А зачем вам это? Копите. Далее или сам обратится или при увольнении рассчитаете.
Вчера уволился сотрудник. У нас отпуск 28 дней. Выплатил за 44 дня.