Какие действия должен предпринять отдел кадров в данном случае, чтобы успешно решить вопрос по назначению нового руковод

Впервые слышу, что отдел кадров может назначать на должность. Это может делать только руководитель организации. Вы же должны предоставить кандидатуры на должность с характеристиками, а он пусть выбирает, кто более достойный. А бояться, что кто- то уволиться - не нужно. К этому нужно быть готовым всегда. Если у человека появляется возможность перейти на более лучшую работу, с более высокой зарплатой, то вряд ли вы сможете что-то сделать. Если же это не предвидится на его горизонте, то он будет продолжать работать.

Если у вас отдел кадров, то это не его проблемы - отдел кадров чисто функциональное подразделение обеспечивающее грамотное выполнение приказов сверху и лезть куда-либо не их компетенция, а вот если у вас служба персонала, то тогда другое дело. Вопрос вот в чем - а почему увольняется ваш начальник? Столько проработал и вот? На самом деле, советовать трудно, т. к. допущена одна грубая ошибка - если у вас отдел кадров, то допущена руководством, если отдел персонала - то вами - у вас всегда должен быть готов приемник. Т. е. в организации у любого руководителя должен быть зам на время его отсутствия (отпуск или болезнь) - зам, который если не полностью компетентен сразу, то по крайней мере должен быть компетентным в течении короткого времени и это задача именно самого руководителя, которого он должен замещать. Делается это просто - ему ставится задача подготовить такого зама и указывается, что во время отсутствия только тот будет принимать все решения, но все его ошибки лягут на плечи руководителя, который его подготовил. Это для того, чтобы не было попыток подготовить номинальных, слабых замов. Т. е. в компании должен быть план карьерного роста на всех работников. В этом случае ничего подобного у вас не возникло, т. к. все бы знали кто замещает уходящего работника, кто займет место его заместителя и кто будет следующим кандидатом на эту должность. Кроме того, если таковых не окажется, то будет четкая мотивировка почему - каких знаний и навыков ему не хватает для этого и чему он должен научиться или освоить.
В вашем случае есть только один вариант - четко описать требования к должности руководителя и провести аттестацию всех руководителей, что бы продемонстрировать объективность выбора. Свое решение четко обосновать. Причем разговор по результатам должен быть с глазу на глаз, что бы ваши претензии из-за которых вы отказали работнику остались только между вами - не надо его критиковать перед остальными кандидатами.