Сотрудник по своей инициативе выходил в прошлом полугодии на работу по выходным.

Выходной день работник может использовать по своему усмотрению, в том числе и ходить на работу, если это напрямую не запрещено правилами внутреннего трудового распорядка.

НО! сам факт появления на рабочем месте в выходной день НЕ является основанием для оплаты или предоставления дополнительных дней отдыха работнику. Поэтому вполне правомерно отказать работнику в предоставлении отпуска, как не имеющего под собой законных оснований.

А дальше пусть работник сам решает - стоит ли ему работать по своей инициативе по выходным за бесплатно, или нет.

А эти дни были отмечены как отработанные?

У вас охраны нет? Почему во вне рабочее время есть доступ? Режим работы - в трудовом договоре сотрудника. У вас есть правила трудового распорядка. Какие еще нормы?
Статья 113. Запрещение работы в выходные и нерабочие праздничные дни. Исключительные случаи привлечения работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни
Работа в выходные и нерабочие праздничные дни запрещается, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом.
Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни производится с их письменного согласия в случае необходимости выполнения заранее непредвиденных работ, от срочного выполнения которых зависит в дальнейшем нормальная работа организации в целом или ее отдельных структурных подразделений, индивидуального предпринимателя.
Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни без их согласия допускается в следующих случаях:
1) для предотвращения катастрофы, производственной аварии либо устранения последствий катастрофы, производственной аварии или стихийного бедствия;
2) для предотвращения несчастных случаев, уничтожения или порчи имущества работодателя, государственного или муниципального имущества;
3) для выполнения работ, необходимость которых обусловлена введением чрезвычайного или военного положения, а также неотложных работ в условиях чрезвычайных обстоятельств, то есть в случае бедствия или угрозы бедствия (пожары, наводнения, голод, землетрясения, эпидемии или эпизоотии) и в иных случаях, ставящих под угрозу жизнь или нормальные жизненные условия всего населения или его части.

Можно и нужно провести служебное расследование: вызвать сотрудника к начальнику и задать пару вопросов: почему ты выходишь на работу в выходные - не справляешься с работой из-за своей некомпетентности или очень большой объем работы на одного человека или другие причины есть? В принципе после такого заявления сотрудника (что он аж полгода работал по выходным и не согласовывал это с руководством), начальник его просто обязан разобраться с этой ситуацией.