Бывшый работодатель не хочет выплачивать пособие по безработице

он может удостоверится, что ты не работаешь... но проще позвонить в службу занятости..

А при чем здесь бывший работодатель? Пособие по безработице выплачивает служба занятости, выплаты производятся из бюджетных средств. Работодатель никаких "пособий по безработице" бывшим работникам не выплачивает, такое законом не предусмотрено.
Если же вы имеете в виду средний заработок, который выплачивается работодателем уволенным в связи с сокращением должностей работникам, так служба занятости к этому не особого отношения не имеет. Выплата за первый месяц производится сразу, в день увольнения, это так называемое выходное пособие. Для получения выплаты за второй месяц работник приходит к бывшему работодателю, пишет заявление на эту выплату, предъявляет трудовую книжку, подтверждающую, что он так и не трудоустроился, работодатель производит выплату. Не в службу занятости перечисляет, а непосредственно работнику выплачивает. Для получения среднего заработка за второй месяц не обязательно на учете в ЦЗ быть.
А вот для того, чтобы получить средний заработок за третий месяц после увольнения, работник должен по истечении этого третьего месяца явиться к работодателю со справкой из ЦЗ о том, что он является безработным и право на получение среднего заработка за третий месяц у него есть. Всегда такой порядок был, никогда не слышала, чтобы работники по этому поводу истерили, всегда все приходят, спокойно заявление пишут, трудовую предъявляют, деньги получают.
Не хотите предоставлять трудовую книжку работодателю, не предоставляйте. Это ваше личное дело, продолжайте скандалить, обратитесь с жалобой в трудовую инспекцию, можете в прокуратуру обратиться, в суд с иском.

Пособие выплачивает служба занятости.

Это не его печаль, чем вы там заняты, выяснять. Это обязанность службы занятости. Как и выплата вам пособия по безработице.
А "привлечь к ответственности" человека за нелепые желания достаточно непросто.
Просто прекратите с ним всякое общение.

Пособие выплачивает не работодатель, а служба занятости. Позвоните туда и сообщите, что бывший работодатель требует от Вас странные вещи.

Я из Белоруссии и возможно не очень в тему, стукани на него в налоговую что у него работают не законно без должного оформления люди, что он крутит с налогами, правда это или нет, не важно, пусть налоговики ему нервы поедят и тебе приятней будет