Подскажите что проверяет служба без Мне отказали при приеме на работу в банке.

Это стандартная отмазка, не только в банках, но и в крупных компаниях. Видимо причина другая, которую так сказать не совсем корректно Вам высказывать. Узнать много личной информации о вас как правило у службы безопасности банка, корпораци и т. п. вещей нет. Однако там работают, как правило бывшие менты и пробивают все у своих бывших коллег. так же можете подать исковое заявление в суд на разъяснение причин и уточнения, какую конкретно информацию о Вас узнавал работодатель. Если вы пойдете на это, во 1ых вам будет обязательно удовлетворен иск и вы удивитесь, что сверх приватной информации там о вас не будет ))). Законом не прописано, что если у вас есть родственники, а тем более бывшие имеющие судимость могут стать причиной отказа в трудоустройстве. Мы же не в 30ые годы живем.

судимость бывшего мужа.

А сколько их еще будет... отказов! и никто не обязан отчитывться а причинах!

Ох, ребята, зачем же вы даете право кому-то копаться в своей жизни? При собеседовании если видите пункт "Я даю свое согласие на проверку данных" или что-то подобное, бегите оттуда, если не готовы, что чужие дядьки разберут вас и ваших родственников по косточкам.
Я как-то пыталась устроиться в какое-то агентство - сдуру написала все, что они в анкете просили. Всех родственников и знакомых, кого я указала - всех пару недель терроризировали звонками и спрашивали личную информацию про них и про меня. Прошло уже лет 10, с тех пор в подобных анкетах пункт "Даю право" вычеркиваю. Такие работодатели мне не нужны.