Сложная ситуация с увольнением, помогите разобрать)

Я устроилась на официальную работу, и когда меня брали на словах сказали, что испытательный срок - месяц. Должны были сразу заключить договор и позже передать с курьером. Но там так вышло, что были майские праздники, когда начальство отдыхает, потом в моей трудовой обнаружили не правильное заполнение с предыдущего места работы и вернули мне трудовую, чтобы я съездила исправила. Вобщем я отработала уже три недели из которых неделю сижу на больничном, и я как бы трудоустроена официально с первого дня, но по факту мы еще не подписали договор из за всех этих обстоятельств. А сейчас я вдруг нашла другую работу гораздо лучше и меня уже приняли туда, я хотела уволиться ибо думала, что раз изспытательный срок то за три дня уведомлю и меня уволят. Но кадровик говорит, что у них оформление с первого дня считается и надо отработать две недели мол у нее людей нету и она не может меня уволить пока не найдет кого-то. Можно ли тут как то выпутаться, чтобы не отрабатывать? я До сих пор не подписала договор опять же, тоесть чисто формально ничего им не должна, но с другой стороны если я им так скажу они тоже могут мне зарплату не дать за этот срок не так ли? Есть тут люди, которые шарят, подскажите что можно сделать?)) Я как бы устроена с первого дня, но из за тупняков физически не подписала договор до сих пор. Он как бы задним числом меня ждет лежит. И в трудовой записи пока тоже нету.