Работник, не уволившись со старой работы, принят на новую. Чем это грозит ему и новому работодателю?

Ничем. Просто при сдаче работодателями индивидуальных сведений в пенсионный фонд РФ будут отражены начисления и одного, и другого работодателя. Поэтому, будут немного больше страховая и накопительные части Вашей пенсии.

Сегодня можно работать по совместительству совершенно законно. Стоит напрямую обратиться к прежнему работодателю, чтобы узнать, числится у него такой работник или нет. Но в этом случае он может и не давать информацию, законодательство это позволяет. Новому работодателю такая ситуация ничем не грозит, прежнему тем более.

ничем не грозит, лишь бы налоги работодатели отчисляли с его зарплаты исправно

Милая Маша написала все подробно и доходчиво=)

Если работник в отпуске, то почему бы не написать заявление по собственному? Если же он прогуливает, то будет уволен за прогулы. Новому работодателю ничего не будет, даже если он знал о другой работе работника. Выявить, что человек не уволен с прежней работы нельзя.

Не соглашусь. Недавно столкнулся с такой же ситуацией при проверке трудовой книжки СРО строителей, в акте были указаны несоответствия и в результате документ не был принят в качестве обоснования стажа сотрудника, с этим можно столкнуться и работнику при возникновении спора о начислении пенсии. Поэтому лучше будет если данное несоответствие устранить. Нужно запросить выписку с госуслуг, если выясниться, что работник числиться в другой организации, то необходимо будет совершить действия по увольнению, т.е. направить почтой заявление об увольнении бывшему работодателю. До того времени пока заявление будет получено прежним работодателем на новом месте работы оформить по совместительству. К примеру, в новой трудовой под записью о приеме прописать, что работал по совместительству в период, когда он был принят по дату его реального увольнения на предыдущем месте работы.