Подпись руководителя обязательна ли при процедуре увольнения работника.

лучше по почте заказным с уведомлением (чтобы не потеряли) .
пофиг подпись, главное срок 2 недели (ст. 80 ТК РФ) .
их уведомил - и через 2 недели свободен

Нет не надо. Это заявление надо было отправить по почте с уведомлением. В самом заявлении написать про отработку, что срок отработки будет считаться со дня подачи заявления.

Вам необходимо написать заявление в двух экземплярах. Зарегистрировать заявление у секретаря, с отметкой в Вашем экземпляре о принятии и проставлением даты приема. С момента регистрации Вы продолжаете работать еще 2 недели с соблюдением правил внутреннего распорядка и можете больше на работу не выходить. Днем увоьнения считается последний день работы. В этот день Вам должны выдать трудовую книжку и сделать все денежные расчеты. В случае если трудовую книжку Вам не выдадут, работодатель несет за это ответственность. Все дни задержки выдачи тр. книжки суды признают днями вынужденного прогула с последующим взыскание средней заработной платы в расчете за каждый день просрочки выдачи. Подпись руководителя в заявлении не обязательна.

Да, обязательна, потому как руководитель представитель работодателя. Если не может лично руководитель, есть должностные лица его заменяющие.

Вообще кто-то же на предприятии ставит подпись вместо руководителя? Должен быть приказ и доверенность, в том числе на право подписи документов, если руководитель отсутствует.

Если начальник отсутствует, то его замещают - гл инж, либо зам. Резолюция нужна, кстати, она же определит с отработкой (2 нед) или без нее вы будете уволены.
Но в самом крайнем случае - вы ведь можете просто не выйти на работу, тогда по истечение 3 дней вас уволят автоматически - разумеется по некрасивой статье "за прогулы".

На заявлении, если оно зарегистрированно по всем правилам, не нужна. А вот в трудовой книжке, если нет кадровика, кроме руководителя свою подпись не поставит никто.