Предлагают работу в бюджетной организации. В ШР такой единицы нет, но обещают ТД. Возможно ли это?

да пожалуйста.
если это не госслужба, то разницы никакой.
но должен быть именно Трудовой договор (ст. 57 ТК РФ)

Договр оказания услуг или ТД сверх штата. В первом случае вы вообще к штату отношения не имеете, во втором - при первом же сокращении вылетаете в первую очередь

Если действительно ТРУДОВОЙ договор, то Вы имеете все права и соцблага наравне со штатными работниками. Странно, конечно, что это за ТД, а в штате нет. Есть такое понятие "ауфстафинг" (за штатом) , но человек все равно оформляется в штат другой фирмы, которая, например, оказывает услуги этой организации (например, хозяйственные) . Так бывает в практике. Для того, чтобы не раздувать штат. А если Вы заключите гражданско-правовой договор (чаще, подряда) , то Вы не будете пользоваться какими-то доп. благами, кот. есть у работников (например допмедстрах, дотация на питание) , Вам не будет положен отпуск, нет выплат по больничному - так как все это другая форма договора НЕ ТРУДОВОГО, а гражданско-правового. НО! есть плюс! Вы не обязаны исполнять трудовой распорядок, на Вас не распространяется табель учета рабочего времени. То есть, в Вашем договоре будет прописано конкретное задание, срок, в течение кот. Вы обязаны все выполнить и конкретная сумма денег (это не з/плата, а оплата работы) . Но налоги отчисляются официально (если официально оформлено) , это Ваш дополнительный доход (имеет значение для получения кредита в банке, например) . Так что, если нет никакой работы - можно пробовать. А там на месте, кто знает, может быть и найдется вакансия! :)

при заключении трудового договора, работодатель оябзан поменять шр, если же не поменяет, а у вас есть трудовой договор, то вам в принципе должно быть все равно, это проблема работодателя в случае проверки трудовой инспекции

Могут предложить гражданско-правовой договор, т. е. договор подряда.