произошла реорганизация, путём слияния двух учреждений, с 22 декабря, работаем в новой организации, но прошёл слух,

В соответствии со ст. 75 ТК РФ реорганизация организации «(слияние …) не может являться основанием для расторжения трудовых договоров с работниками организации» . Поэтому в Вашей трудовой книжке должна появиться запись или штамп о том, что Вы работаете в новой организации (в той же должности) , убедитесь, что эта запись или штамп появились. Только после этого начинаете выяснять у работодателя о каких договорах в принципе идет речь. Потому, что на счет срочных трудовых договоров существует ст. 57 ТК РФ в соответствии с требованием которой «обязательными для включения в трудовой договор являются следующие условия:
…
дата начала работы, а в случае, когда заключается срочный трудовой договор, - также срок его действия и ОБСТОЯТЕЛЬСТВА (ПРИЧИНЫ) , послужившие основанием для заключения срочного трудового договора в соответствии с настоящим Кодексом или иным федеральным законом …».
То есть если Вам предлагают срочный трудовой договор, то обязаны указать ОБСТОЯТЕЛЬСТВА (ПРИЧИНЫ) , перечисленные в ст. 59 ТК РФ.

Срочный трудовой договор должен быть ОБОСНОВАН - на время отсутствующего работника, например, а так должны быть заключены договора на неопределеныый срок... .
Но с другой стороны - по срочному трудовому договору сложнее уволить - только по окончании срока - допустим, через 5 лет.. . И не ранее. А с неопределенным проще...

Реорганизация не является основанием к изменению условий трудового договора.

Если у Вас ранее был заключен бессрочный ТД, то никаких срочных ТД не может быть. Тем более, как Вы пишите реорганизация уже прошла. Обо всех условиях изменения работы, должны были предупредить до начала рерганизации с уведомлением профсоюзных органов и органов Мисоцтруда.