записывается ли должность исполняющего обязанности директора в трудовую книжку?

Вы должны исходить из того, что исполнение обязанностей возможно только в порядке ст. 60.2 ТК РФ, т. е. для исполнения обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, работнику может быть поручена дополнительная работа как по другой, так и по такой же профессии (должности) .
Срок, в течение которого работник будет выполнять дополнительную работу, ее содержание и объем устанавливаются работодателем с письменного согласия работника.
При этом работник остаётся на своей штатной должности.
Если же Вы сократите его должность, как Вы пишите, Вам придётся расторгнуть с ним трудовой договор по основаниям, предусмотренном ч. 2 ст. 81 ТК РФ и расстаться с ним или после расторжения договора принять на работу на вакантную штатную должность директора. Назначить на вакантную должность сокращённого работника исполняющим обязанности Вы не можете.

Это не должность а временное замещение. Должность сокращается. Приказ издается. Переводом. В трудовую писать не спешите.

Думаю нет, это же временное назначение, в должностном расписании нет такого, будет просто приказ о переводе на эту должность, и по идее, надо оговорить на какой срок и на какую зарплату

А как быть с тем, что в соответствии со ст. 66 Трудового кодекса, трудовая книжка является основным документом о трудовой деятельности и трудовом стаже работника?
Это что же - пока работник трудится в должности и. о. директора, это ему в трудовой стаж не засчитывается? То-то работник обрадуется, узнав, что из его трудового стажа часть испарилась. Нет-с, уважаемые, извольте сделать в трудовой запись о том, что в такой-то период такой-то работник трудился в такой-то должности.
Если должность работника была сокращена, а он согласился занять другую должность в вашей организации, вам надо не увольнять работника, а оформить его перевод на другую работу и сделать соответствующую запись в трудовой.

Ольга! В трудовую книжку вносятся записи о приемах, переводах и увольнениях, ну и некоторые другие: об изменении организационно-правовой формы юр. лица, наименования юр. лица, наименования структурных подразделений и должностей, о благодарностях и вновь присвоенных профессиях, квалификациях.
В Вашем случае рассматривается вопрос о том, делать ли запись о переводе на должность "и. о. директора".
Ну путайте себя, перевод можно осуществить только на должность, имеющуюся в штатном расписании!! ! В Вашем штатном расписании есть должность "и. о. директора"? НЕТ там такой должности. Поэтому и перевод такой не возможен.
Формулировка "возложить исполнение обязанностей директора на начальника управления" означает не перевод, а возложение обязанностей по должности директор на работника, замещающего должность начальника управления. Его должность НЕ МЕНЯЕТСЯ, появляются лишь новые обязанности.
Если Вы все-таки "назначите" такого работника на должность "и. о. директора", а его основная должность будет сокращена, то сложится ситуация, когда по одной должности - директор фактически будут иметь место отношения с двумя физическими лицами.