Какой максимальный срок? Я хочу взять несколько дней за свой счёт!

Статья 173.
Работодатель обязан предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
работникам, допущенным к вступительным испытаниям в образовательные учреждения высшего профессионального образования, - 15 календарных дней;
работникам - слушателям подготовительных отделений образовательных учреждений высшего профессионального образования для сдачи выпускных экзаменов - 15 календарных дней;
работникам, обучающимся в имеющих государственную аккредитацию образовательных учреждениях высшего профессионального образования по очной форме обучения, совмещающим учебу с работой, для прохождения промежуточной аттестации - 15 календарных дней в учебном году, для подготовки и защиты выпускной квалификационной работы и сдачи итоговых государственных экзаменов - четыре месяца, для сдачи итоговых государственных экзаменов - один месяц.

Выводы следующие:

Положения ТК РФ не обязывают работодателя предоставлять Вам отпуск без сохранения з/п (за исключением указанных в ст. 128 и 173 случаях) , а предоставляют таковое право.
Есть исключения, когда работодатель ОБЯЗАН предоставить отпуск, но если Вы не подпадаете ни под одно из этих исключений - по договоренности.
Т. е. , работодатель банально может и отказать.

ст. 128 ТК РФ.
Отпуск без сохранения заработной платы.

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:
участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;
работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;
родителям и женам (мужьям) военнослужащих, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы, - до 14 календарных дней в году;
работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;
работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;
в других случаях, предусмотренных ТК РФ, иными федеральными законами либо коллективным договором.

Заявление за свой счет должно быть на скрок не более двух недель