Подскажите, пожалуйста, дни отгулов считают вместе с выходными?

Выходной день никак не суммируется с днем отгула. Отгул предоставляется за отработанный день, а выходной-он и есть выходной день

Вы пишете заявление: прошу предоставить отгулы такого-то и такого-то числа. И никто вам приплюсовать от себя еще пару дней права не имеет. В табеле-то проставляются рабочие дни! Каким образом у вас на работе их собрались проставлять на субботу-воскресенье?

да, система как с отпуском - можно взять 5рабочих дней (с пн по пт) , тогда выходные "экономят" ваш отпуск/отгулы, а можно взять к примеру 7 (с ПН по ВС) - в этом случае вы теряете 2 дня.
конечно, выгоднее брать либо 5, либо 12 (тогда 2недели получиться с учетом 2х выходных) , либо 19 (с учетом выходных получится 3 недели) календарных РАБОЧИХ дней, но начинаем с начала рабочей недели.

То, что Вам говорят на работе - полная чушь. Берите дни, как Вам нравится. по 163 статье ТК день другой день отдыха должен (подчеркиваю, должен) быть предоставлен работнику по его желанию. И администрация не имеет право вам отказать в его предоставлении, т. к. этот день фактически Вы уже отработали.
Отгул (предоставление другого дня отдыха) не может быть предоставлен во внерабочий день.
Советую написать заявление следующим образом: Прошу предоставить мне дни отдыха за ранее отработанное время с Пн по ПТ, и с ПН по ПТ. Основание - приказы на работу NN, статья 163 ТК.

да